Encontre a reta normal à parábola y=x+x^2 no ponto (1,2). (Dica: note que o produto dos coeficientes angulares das retas tangente e normal a uma curva em um ponto é -1 . Você saberia demonstrar esse resultado?)

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a reta normal à parábola no ponto . Vamos usar cálculo diferencial para achar a inclinação da reta tangente nessa parábola e, depois, encontrar a inclinação da reta normal usando a relação de que os coeficientes angulares das retas tangente e normal multiplicam-se para dar -1. Ah, também vamos precisar da equação da reta usando o ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função y = x + x^2 y' = ddx(x) + ddx(x^2) y' = 1 + 2x . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Usando as regras de derivação:
Então, a derivada da função é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto y' = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3 . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 3.

Passo 4

Sabemos que a reta normal é perpendicular à reta tangente. A relação entre os coeficientes angulares mt times mn = -1 (tangente) e 3 times mn = -1 mn = -13 (normal) é:
Já temos , então:
Portanto, a inclinação da reta normal é .

Passo 5

Finalmente, vamos usar a fórmula da equação da reta que passa pelo ponto y - y0 = m(x - x0) com inclinação y - 2 = -13(x - 1) :
y = -13x + 13 + 2 y = -13x + 73
Substituindo , e :
Podemos simplificar a equação se quiser:

Resposta

A reta normal à parábola no ponto é .

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