Encontre a reta normal à parábola
no ponto
. (Dica: note que o produto dos coeficientes angulares das retas tangente e normal a uma curva em um ponto é -1 . Você saberia demonstrar esse resultado?)
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar a reta normal à parábola
no ponto
. Vamos usar cálculo diferencial para achar a inclinação da reta tangente nessa parábola e, depois, encontrar a inclinação da reta normal usando a relação de que os coeficientes angulares das retas tangente e normal multiplicam-se para dar -1. Ah, também vamos precisar da equação da reta usando o ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada
nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Usando as regras de derivação:
Então, a derivada da função é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 3.
Passo 4
Sabemos que a reta normal é perpendicular à reta tangente. A relação entre os coeficientes angulares
(tangente) e
(normal) é:
Já temos
, então:
Portanto, a inclinação da reta normal é
.
Passo 5
Finalmente, vamos usar a fórmula da equação da reta que passa pelo ponto
com inclinação
:
Substituindo
,
e
:
Podemos simplificar a equação se quiser:
Resposta
A reta normal à parábola
no ponto
é
.