Resolva os exercícios aplicando a regra da cadeia à equação de vínculo entre as variáveis para obter as taxas relacionadas.
Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de
. Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m . Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de
quando a altura for 2 m , encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque.
Resposta:
Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de
Resposta:
Passo 1
Entendendo o problema
Vamos lá! A gente tem um tanque em forma de cone invertido, que significa que a base do cone está embaixo e o vértice para cima. Esse tanque tem 6 metros de altura e o diâmetro no topo é de 8 metros. Estão acontecendo duas coisas importantes:
- Água vazando do tanque a uma taxa de
. - Água sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa que precisamos descobrir.
Além disso, foi dado que o nível da água está subindo a
quando a altura da água no tanque é de 2 metros. Nosso objetivo é encontrar a taxa de bombeamento da água para dentro do tanque. Vamos usar a Regra da Cadeia para relacionar essas taxas.
Passo 2
Convertendo unidades para manter a consistência
Primeiro, vamos garantir que todas as unidades estejam no mesmo sistema. Como as taxas de vazamento e subida estão em centímetros, vamos converter as medidas do tanque de metros para centímetros:
- Altura do tanque:
- Diâmetro do topo:
- Altura da água:
Passo 3
Relacionando as dimensões do tanque e do nível da água
Como o tanque é um cone, podemos relacionar o raio da água (
) com a altura da água (
) usando proporções. No topo do tanque, o raio é metade do diâmetro:
A proporção entre raio e altura é:
Passo 4
Expressando o volume da água em função da altura
O volume (
) de um cone é dado por:
Substituindo
:
Então, o volume da água em função da altura é:
Passo 5
Encontrando a taxa de variação do volume em relação ao tempo
Queremos saber como o volume muda com o tempo (
). Para isso, vamos derivar a expressão de
em relação a
e depois multiplicar pela taxa de variação de
em relação ao tempo (
):
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Então:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos
Sabemos que quando
,
. Vamos substituir esses valores na equação:
Calculando:
Passo 7
Considerando o vazamento de água
A taxa total de variação do volume (
) é a diferença entre a taxa de bombeamento (
) e a taxa de vazamento:
Substituindo o valor que encontramos:
Passo 8
Isolando
para encontrar a taxa de bombeamento
Vamos resolver para
:
Resposta
A taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque é
.