Resolva os exercícios aplicando a regra da cadeia à equação de vínculo entre as variáveis para obter as taxas relacionadas.
Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm^3 / min. Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m . Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20 cm / min quando a altura for 2 m , encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque.
Resposta: (32 pi9+10) times 10^3 cm^3 / min

Passo 1

Entendendo o problema
Vamos lá! A gente tem um tanque em forma de cone invertido, que significa que a base do cone está embaixo e o vértice para cima. Esse tanque tem 6 metros de altura e o diâmetro no topo é de 8 metros. Estão acontecendo duas coisas importantes:
  1. Água vazando do tanque a uma taxa de .
  2. Água sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa que precisamos descobrir.
Além disso, foi dado que o nível da água está subindo a quando a altura da água no tanque é de 2 metros. Nosso objetivo é encontrar a taxa de bombeamento da água para dentro do tanque. Vamos usar a Regra da Cadeia para relacionar essas taxas.

Passo 2

Convertendo unidades para manter a consistência
Primeiro, vamos garantir que todas as unidades estejam no mesmo sistema. Como as taxas de vazamento e subida estão em centímetros, vamos converter as medidas do tanque de metros para centímetros:
  • Altura do tanque:
  • Diâmetro do topo:
  • Altura da água:

Passo 3

Relacionando as dimensões do tanque e do nível da água
Como o tanque é um cone, podemos relacionar o raio da água ( Raio total do tanque = 800 , cm2 = 400 , cm ) com a altura da água ( rh = 400600 = 23 implies r = 23h ) usando proporções. No topo do tanque, o raio é metade do diâmetro:
A proporção entre raio e altura é:

Passo 4

Expressando o volume da água em função da altura
O volume ( V = 13 pi r^2 h ) de um cone é dado por:
V = 13 pi (23h)^2 h = 13 pi (49h^2) h = 427 pi h^3
Substituindo V = 427 pi h^3 :
Então, o volume da água em função da altura é:

Passo 5

Encontrando a taxa de variação do volume em relação ao tempo
Queremos saber como o volume muda com o tempo ( dVdt = dVdh cdot dhdt ). Para isso, vamos derivar a expressão de dVdh = 427 pi cdot 3h^2 = 1227 pi h^2 = 49 pi h^2 em relação a dVdt = 49 pi h^2 cdot dhdt e depois multiplicar pela taxa de variação de em relação ao tempo ( ):
Primeiro, derivamos em relação a :
Então:

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos
Sabemos que quando dVdt = 49 pi (200)^2 cdot 20 , dVdt = 49 pi cdot 40.000 cdot 20 = 49 pi cdot 800.000 = 3.200.000 pi9 = 32 pi9 times 10^4 , cm^3/min . Vamos substituir esses valores na equação:
Calculando:

Passo 7

Considerando o vazamento de água
A taxa total de variação do volume ( dVdt = Q - 10.000 ) é a diferença entre a taxa de bombeamento ( 32 pi9 times 10^4 = Q - 10.000 ) e a taxa de vazamento:
Substituindo o valor que encontramos:

Passo 8

Isolando Q = 32 pi9 times 10^4 + 10.000 = (32 pi9 + 10) times 10^3 , cm^3/min para encontrar a taxa de bombeamento
Vamos resolver para :

Resposta

A taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque é .

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