Encontre a derivada das funções abaixo.
f(x)=\cos \left(\frac{1-e^{2 x}}{1+e^{2 x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\!\Bigl(\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr).
Para isso, vamos usar a regra da cadeia em \cos(u) e a regra do quociente para
u(x)=\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}.

Passo 2

Definamos
N(x)=1-e^{2x}, \quad D(x)=1+e^{2x}.
Então
N'(x)=-2e^{2x}, \quad D'(x)=2e^{2x}.
Pela regra do quociente,
u'(x) =\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^2} =\frac{(-2e^{2x})(1+e^{2x})-(1-e^{2x})(2e^{2x})}{(1+e^{2x})^2}.

Passo 3

Simplificando o numerador de u'(x):
(-2e^{2x}-2e^{4x})-(2e^{2x}-2e^{4x}) =-4e^{2x}.
Logo,
u'(x)=-\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia em f(x)=\cos(u(x)):
f'(x) =-\sin\!\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x) =-\sin\!\Bigl(\tfrac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}\Bigr).

Passo 5

Cancelando os sinais negativos,
f'(x) =\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}\,\sin\!\Bigl(\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr).

Resposta

f'(x)=\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}\,\sin\!\Bigl(\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr).

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