Encontre a derivada das funções abaixo.
f(x)=e^{x \operatorname{sen}(2 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = e^{\,x \operatorname{sen}(2x)},
ou seja, vamos aplicar a regra da cadeia em conjunto com a regra do produto para derivar o expoente x\operatorname{sen}(2x).

Passo 2

Escrevendo a derivada por cadeia, temos
f'(x) = e^{\,x \operatorname{sen}(2x)} \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x \operatorname{sen}(2x)\bigr).

Passo 3

Agora derivamos o produto x \operatorname{sen}(2x) usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x \operatorname{sen}(2x)\bigr) = 1 \cdot \operatorname{sen}(2x) + x \cdot \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr).
Como \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr)=2\cos(2x), fica
\frac{d}{dx}\bigl(x \operatorname{sen}(2x)\bigr) = \operatorname{sen}(2x) + 2x\cos(2x).

Passo 4

Substituindo de volta em f'(x), obtemos
f'(x) = e^{\,x \operatorname{sen}(2x)} \bigl(\operatorname{sen}(2x) + 2x\cos(2x)\bigr).

Resposta

f'(x)=\bigl(\operatorname{sen}(2x)+2x\cos(2x)\bigr)e^{\,x\operatorname{sen}(2x)}.

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