Encontre a derivada das funções abaixo.
f(x)=\operatorname{sen}(\tan (2 x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\tan(2x)\bigr).
Aqui o conteúdo é a regra da cadeia, pois temos uma composição de três funções:
  • v(x)=2x,
  • u(v)=\tan(v),
  • f(u)=\operatorname{sen}(u).

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia na camada exterior, isto é, derivamos
\operatorname{sen}(u) em relação a u.
Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sen}(u)\bigr]=\cos(u).
Logo,
f'(x) =\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\cos\bigl(\tan(2x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Agora derivamos u(v)=\tan(v) em relação a v.
A derivada da tangente é
\frac{d}{dv}\bigl[\tan(v)\bigr]=\operatorname{sec}^2(v).
Portanto,
u'(x) =\operatorname{sec}^2\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x) =\operatorname{sec}^2\bigl(2x\bigr)\cdot v'(x).

Passo 4

Finalmente, derivamos v(x)=2x.
Como é uma função linear,
v'(x)=2.
Substituindo em u'(x), obtemos
u'(x)=\operatorname{sec}^2(2x)\cdot 2.

Passo 5

Reunindo tudo em f'(x)=\cos(\tan(2x))\cdot u'(x), temos
f'(x) =\cos\bigl(\tan(2x)\bigr)\cdot\bigl(2\,\operatorname{sec}^2(2x)\bigr) =2\,\cos\bigl(\tan(2x)\bigr)\,\operatorname{sec}^2(2x).

Resposta

f'(x)=2\,\cos\bigl(\tan(2x)\bigr)\,\operatorname{sec}^2(2x).

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