Encontre a derivada das funções abaixo.
f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{3}\left(x^{2}+2\right)^{6}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x) = (x^2+1)^3\,(x^2+2)^6.
O conteúdo envolvido é a regra do produto (derivada de u\cdot v) e a regra da cadeia (derivada de (g(x))^n).

Passo 2

Vamos chamar
u(x) = (x^2+1)^3 \quad\text{e}\quad v(x) = (x^2+2)^6.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Agora aplicamos a regra da cadeia em u(x): se u(x) = (g(x))^3, então
u'(x) = 3\,(g(x))^2 \,g'(x),
com g(x)=x^2+1 e g'(x)=2x. Logo
u'(x) = 3\,(x^2+1)^2\cdot 2x = 6x\,(x^2+1)^2.

Passo 3

De modo análogo em v(x) = (x^2+2)^6, usando cadeia com h(x)=x^2+2 e h'(x)=2x, obtemos
v'(x) = 6\,(x^2+2)^5\cdot 2x = 12x\,(x^2+2)^5.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'v+uv', temos
f'(x) = \bigl[6x\,(x^2+1)^2\bigr]\,(x^2+2)^6 + (x^2+1)^3\bigl[12x\,(x^2+2)^5\bigr].
Factorizando o fator comum 6x\,(x^2+1)^2\,(x^2+2)^5:
f'(x) =6x\,(x^2+1)^2\,(x^2+2)^5 \Bigl[(x^2+2)+2\,(x^2+1)\Bigr].

Passo 5

No colchete simplificamos:
(x^2+2)+2(x^2+1) = x^2+2 +2x^2+2 = 3x^2+4.
Portanto a forma final é
f'(x)=6x\,(x^2+1)^2\,(x^2+2)^5\,(3x^2+4).

Resposta

f'(x)=6x\,(x^2+1)^2\,(x^2+2)^5\,(3x^2+4).

Exercícios relacionados