Encontre a derivada das funções dadas.
f(x)=x+1x+2(3 x^2+6 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x+1x+2,l(3x^2+6xr),
que é um produto entre dfracx+1x+2 e o polinômio 3x^2+6x. Para resolver, podemos usar duas abordagens: aplicar regra do produto + regra do quociente ou notar uma simplificação algébrica antes de derivar. Aqui vamos simplificar primeiro, depois usar derivadas de polinômios.

Passo 2

Observe que
3x^2+6x = 3x,(x+2)
Logo
f(x) = x+1x+2,l[3x,(x+2)r] = 3x,(x+1),x+2x+2
Para xneq -2 podemos cancelar (x+2), obtendo
f(x)=3x,(x+1)=3x^2+3x

Passo 3

Agora derivamos a expressão simplificada f(x)=3x^2+3x. Usando ddxx^n=n,x^n-1 e linearidade:
f'(x) = ddxl(3x^2r)+ddxl(3xr) =3cdot 2x + 3cdot 1 =6x+3

Passo 4

Portanto, para xneq -2 (onde a função original está definida), a derivada é
f'(x)=6x+3

Resposta

f'(x)=6x+3

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