Exercício 4) Seja f(x, y)=x e^2 y. Dê a direção em que f cresce mais rapidamente no ponto (2,0). Calcule a derivada direcional de f nessa direção, nesse ponto.

Passo 1

Resumindo: temos a função
f(x,y)=x,e^2y
e queremos (i) a direção em que f cresce mais rápido no ponto (2,0) e (ii) a derivada direcional de f nessa direção nesse ponto. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f, que é o vetor dos máximos crescimentos parciais:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) = l(e^2y,,2x,e^2yr)

Passo 3

Avalia-mos o gradiente em (2,0):
nabla f(2,0) = l(e^0,,2cdot2,e^0r) = (1,4)
Como a direção de crescimento máximo é a do próprio gradiente, o vetor unidade nessa direção é
u =1raiz1^2+4^2,(1,4) =l(tfrac1raiz17,,tfrac4raiz17r)

Passo 4

A derivada direcional de f na direção u em (2,0) é o produto escalar
Duf(2,0) =nabla f(2,0)cdot u =(1,4)cdotl(tfrac1raiz17,,tfrac4raiz17r) =1+16raiz17 =17raiz17 =raiz17

Resposta

A direção de crescimento mais rápido em (2,0) é
u=l(tfrac1raiz17,,tfrac4raiz17r),
e a derivada direcional nessa direção vale raiz17.

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