Seja a sequência ann >= 1, dada por a1=raiz2 e an+1=raiz2 an, n >= 1.
a) Encontre os quatro primeiros termos desta sequência.
b) Mostre que an<2, para n >= 1.
c) Mostre que ann >= 1 é monótona.
d) Calcule lim n infty an.

Passo 1

O enunciado define a sequência ann>=1 por
a1=raiz2 e an+1=raiz2,an.
Pede-se:
a) os quatro primeiros termos;
b) mostrar que an<2 para todo n>=1;
c) mostrar que an é monótona;
d) calcular limntoinftyan.
O conteúdo necessário envolve cálculo de termos, indução para limites e monotonia, e resolução de equação fixa para o limite.

Passo 2

Calculamos os primeiros termos diretamente:
a1=raiz2
a2=raiz2,a1=raiz2raiz2=2^34
a3=raiz2,a2=raiz2cdot2^34=2^12+38=2^78
a4=raiz2,a3=raiz2cdot2^78=2^12+716=2^1516

Passo 3

Prova por indução de que an<2:
Base ( n=1):
a1=raiz2<2
Passo indutivo: suponha an<2. Então
an+1=raiz2,an<raiz2cdot2=raiz4=2
Logo, por indução, an<2 para todo n>=1.

Passo 4

Prova por indução de que a sequência é crescente ( an+1>an):
Base ( n=1):
a2=2^34=raizraiz2,2>raiz2=a1
Passo indutivo: suponha an>an-1. A função f(x)=raiz2x é crescente para x>0, logo
an+1=f(an)>f(an-1)=an
Portanto an é estritamente crescente.

Passo 5

Como an é crescente e limitada superiormente por 2, ela converge. Seja
L=limntoinftyan
Pelo recursivo, no limite temos
L=raiz2,L
Elevando ao quadrado,
L^2=2L
L(L-2)=0
Como an>0, L=0 é impossível, resta
L=2

Resposta

a) a1=raiz2, a2=2^tfrac34, a3=2^tfrac78, a4=2^tfrac1516
b) an<2 para todo n>=1.
c) an é estritamente crescente.
d) limntoinftyan=2

Exercícios relacionados