Seja a sequência
, dada por
e
.
a) Encontre os quatro primeiros termos desta sequência.
b) Mostre que
, para
.
c) Mostre que
é monótona.
d) Calcule
.
a) Encontre os quatro primeiros termos desta sequência.
b) Mostre que
c) Mostre que
d) Calcule
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e
.
Pede-se:
a) os quatro primeiros termos;
b) mostrar que para todo
;
c) mostrar que é monótona;
d) calcular .
O conteúdo necessário envolve cálculo de termos, indução para limites e monotonia, e resolução de equação fixa para o limite.
Pede-se:
a) os quatro primeiros termos;
b) mostrar que
c) mostrar que
d) calcular
O conteúdo necessário envolve cálculo de termos, indução para limites e monotonia, e resolução de equação fixa para o limite.
Passo 2
Calculamos os primeiros termos diretamente:
Passo 3
Prova por indução de que
:
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha
. Então
Logo, por indução,
para todo
.
Passo 4
Prova por indução de que a sequência é crescente (
):
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha
. A função
é crescente para
, logo
Portanto
é estritamente crescente.
Passo 5
Como
é crescente e limitada superiormente por
, ela converge. Seja
Pelo recursivo, no limite temos
Elevando ao quadrado,
Como
,
é impossível, resta
Resposta
a)
b) para todo
.
c) é estritamente crescente.
d)
b)
c)
d)