Encontre a derivada das funções:
f(x)=15 \log _{a} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=15\log_{a}x.
O conteúdo aqui é a derivada de função logarítmica de base a e a aplicação da regra do fator constante. Para resolver, vamos usar a mudança de base e a derivada de \ln x.

Passo 2

Primeiro, convertemos o logaritmo de base a em logaritmo natural:
\log_{a}x = \frac{\ln x}{\ln a}.
Como \ln a é constante, substituímos em f(x):
f(x) = 15\,\frac{\ln x}{\ln a} = \frac{15}{\ln a}\,\ln x.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do fator constante e a derivada de \ln x, que é \tfrac{1}{x}. Como \tfrac{15}{\ln a} é constante,
f'(x) = \frac{15}{\ln a}\,\frac{1}{x} = \frac{15}{x\,\ln a}.

Resposta

f'(x)=\frac{15}{x\,\ln a}.

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