Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia e, fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
a)
determine
e
b)
determine
c)
onde
determine
a)
b)
c)
Passo 1
Neste exercício vamos usar a regra da cadeia para encontrar derivadas parciais de funções de r e t (itens a e b) e a derivada total de uma função de t (item c). A dica é fazer as substituições de x, y (e z) em u antes de diferenciar.
Passo 2
No item a, substituindo
e
em
obtemos
, logo
.
Como com
, aplicamos a regra da cadeia:
e
. Note que
não depende de
.
Calculando as derivadas de :
e
. Assim,
e
.
Como
Calculando as derivadas de
Passo 3
No item b, substituindo
e
em
obtemos
.
Usamos a regra da cadeia para seno: se , então
. Aqui
. Calculamos
Usamos a regra da cadeia para seno: se
Passo 4
Portanto,
Passo 5
No item c, com
,
e
substituímos em
e obtemos
Aplicando a derivada de secante,
Resposta
a)
;
b) ;
c)
b)
c)