Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia e, fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
a) u=e^yx, x=2 r cos (t) e y=4 r sen(t) determine partial upartial r e partial upartial r
b) u=sen(x y), x=2 r e^t e y=t^2 e^-r determine partial upartial r e partial upartial r
c) u=raizx^2+y^2+z^2 onde x=tg(t), y=cos (t) e z=sen(t) ; 0 determine d ud t

Passo 1

Neste exercício vamos usar a regra da cadeia para encontrar derivadas parciais de funções de r e t (itens a e b) e a derivada total de uma função de t (item c). A dica é fazer as substituições de x, y (e z) em u antes de diferenciar.

Passo 2

No item a, substituindo x = 2rcos t e y = 4rsin t em u = e^y/x obtemos y/x = 2tan t, logo u(r,t) = e^2tan t.
Como u = e^f(t) com f(t) = 2tan t, aplicamos a regra da cadeia: partial u/partial r = e^f(t) , (df/dr) e partial u/partial t = e^f(t) , (df/dt). Note que f não depende de r.
Calculando as derivadas de f: df/dr = 0 e df/dt = 2sec^2 t. Assim, partial u/partial r = 0 e partial u/partial t = 2 e^2tan tsec^2 t.

Passo 3

No item b, substituindo x = 2r e^t e y = t^2 e^-r em u = sin(xy) obtemos u(r,t) = sinl(2r t^2 e^t-rr).
Usamos a regra da cadeia para seno: se u = sin(f(r,t)), então partial u/partial alpha = cos(f) cdot partial f/partial alpha. Aqui f(r,t) = 2r t^2 e^t-r. Calculamos
partial f/partial r = 2 t^2 e^t-r(1 - r), partial f/partial t = 2r e^t-r(2t + t^2)

Passo 4

Portanto,
partial u/partial r = 2 t^2 e^t-r(1 - r)cosl(2r t^2 e^t-rr),
partial u/partial t = 2r e^t-r(2t + t^2)cosl(2r t^2 e^t-rr)

Passo 5

No item c, com x = tan t, y = cos t e z = sin t substituímos em u = raizx^2 + y^2 + z^2 e obtemos
u = raiztan^2 t + cos^2 t + sin^2 t = raizsec^2 t = sec t(0 < t < tfracpi2)
Aplicando a derivada de secante, d(sec t)/dt = sec ttan t, concluímos que du/dt = sec ttan t.

Resposta

a) partial u/partial r = 0; partial u/partial t = 2 e^2tan tsec^2 t
b) partial u/partial r = 2 t^2 e^t-r(1 - r)cosl(2r t^2 e^t-rr); partial u/partial t = 2r e^t-r(2t + t^2)cosl(2r t^2 e^t-rr)
c) du/dt = sec ttan t

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