Resolva a E.D.O, utilizando o método de separação de variáveis (ou equações separáveis).
e^-x y^prime+y^4=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
e^-xy' + y^4 = 0
O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem separáveis: a ideia é escrever y'=dydx e separar todos os termos que dependem de y de um lado e os que dependem de x do outro, permitindo integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, note que y'=dydx. Substituindo na EDO, obtemos
e^-xdydx + y^4 = 0
Isolando dydx:
dydx = -y^4 e^x

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos em y no lado esquerdo e em x no lado direito:
dyy^4 = -e^x,dx
Isso garante que cada variável apareça em um único lado antes da integração.

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados. No lado esquerdo temos
integral y^-4,dy = y^-3-3,
no lado direito
integral -e^x,dx = -e^x + C
Logo,
y^-3-3 = -e^x + C

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por -3) e definindo uma nova constante C1 = -3C, chega-se a
y^-3 = 3e^x + C1
Por fim, isolamos y:
y = l(3e^x + C1r)^-13

Resposta

y(x) = l(3e^x + Cr)^-tfrac13

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