Encontre a derivada parcial usando regra da cadeia
\frac{\partial}{\partial y}[z \sin (x z) \cos (x y)]

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação a y da função
F(x,y,z)=z\sin(xz)\cos(xy).
Informações relevantes que temos:
  • A função é F(x,y,z)=z\sin(xz)\cos(xy).
  • Queremos \dfrac{\partial}{\partial y}[\,z\sin(xz)\cos(xy)\,].
  • Em uma derivada parcial em relação a y, as variáveis x e z são tratadas como constantes.

Passo 2

Estratégia: Observe que a expressão é um produto de duas partes em relação a y:
u(x,z)=z\sin(xz) \qquad\text{e}\qquad v(x,y)=\cos(xy).
Vou usar a regra do produto para derivada em relação a y. A regra do produto diz que, para duas funções (dependendo de y) u(y) e v(y),
\frac{d}{dy}[u(y)v(y)]=u(y)\frac{dv}{dy}+v(y)\frac{du}{dy}.
Aqui usaremos a versão parcial: \dfrac{\partial}{\partial y}[u v]=u\,\dfrac{\partial v}{\partial y}+v\,\dfrac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Determinar se u depende de y. A função u(x,z)=z\sin(xz) depende apenas de x e z. Como x e z são constantes ao diferenciar em relação a y, temos
\frac{\partial u}{\partial y}=0.
Explicação didática: uma derivada parcial mede a variação quando só uma variável muda; se a expressão não contém y, sua variação em y é zero.

Passo 4

Agora calcular \dfrac{\partial v}{\partial y} com v(x,y)=\cos(xy). Aqui aplicamos a regra da cadeia porque v é uma composição \cos(u) com u(x,y)=xy. A regra da cadeia para derivadas diz:
\frac{d}{dy}[\cos(u(y))]=-\sin(u(y))\cdot \frac{du}{dy}.
No nosso caso u(x,y)=xy, portanto
\frac{\partial u}{\partial y}=x
pois x é constante quando derivamos em relação a y. Assim
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot x.

Passo 5

Aplicar a regra do produto parcial:
\frac{\partial}{\partial y}[\,u\cdot v\,]=u\cdot\frac{\partial v}{\partial y}+v\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Como \dfrac{\partial u}{\partial y}=0, sobra
\frac{\partial}{\partial y}[\,z\sin(xz)\cos(xy)\,]=z\sin(xz)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy).

Passo 6

Substituir \dfrac{\partial}{\partial y}\cos(xy)=-x\sin(xy) na expressão:
\frac{\partial}{\partial y}[\,z\sin(xz)\cos(xy)\,]=z\sin(xz)\cdot\bigl(-x\sin(xy)\bigr).
Multiplicando e simplificando:
\frac{\partial}{\partial y}[\,z\sin(xz)\cos(xy)\,]=-xz\sin(xz)\sin(xy).

Resposta

-x z \sin(x z)\sin(x y)

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