Encontre a derivada parcial usando regra da cadeia
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial em relação a
da função
Informações relevantes que temos:
- A função é
. - Queremos
. - Em uma derivada parcial em relação a
, as variáveis e são tratadas como constantes.
Passo 2
Estratégia: Observe que a expressão é um produto de duas partes em relação a
:
Vou usar a regra do produto para derivada em relação a
. A regra do produto diz que, para duas funções (dependendo de
)
e
,
Aqui usaremos a versão parcial:
.
Passo 3
Determinar se
depende de
. A função
depende apenas de
e
. Como
e
são constantes ao diferenciar em relação a
, temos
Explicação didática: uma derivada parcial mede a variação quando só uma variável muda; se a expressão não contém
, sua variação em
é zero.
Passo 4
Agora calcular
com
. Aqui aplicamos a regra da cadeia porque
é uma composição
com
. A regra da cadeia para derivadas diz:
No nosso caso
, portanto
pois
é constante quando derivamos em relação a
. Assim
Passo 5
Aplicar a regra do produto parcial:
Como
, sobra
Passo 6
Substituir
na expressão:
Multiplicando e simplificando: