Encontre a derivada parcial usando regra da cadeia
f_{1}(x, y) onde f(x, y)=\int_{x^{2}+y^{2}}^{\pi} e^{-t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\int_{x^{2}+y^{2}}^{\pi} e^{-t^{2}}\,dt
e pede para encontrar a derivada parcial \,f_{1}(x,y)\,, isto é, a derivada parcial de f em relação à primeira variável x.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é e^{-t^{2}}, que depende somente de t.
  • O limite superior da integral é a constante \pi.
  • O limite inferior é a função de x e y: x^{2}+y^{2}.
  • A pergunta é: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).

Passo 2

Entender o que acontece quando a integral tem um limite que depende de uma variável: seja, em geral,
H(u)=\int_{u}^{\pi} g(t)\,dt,
onde g é uma função contínua. Pela regra fundamental do cálculo (versão para limite inferior variável) tem-se
\frac{dH}{du} = -\,g(u).
Explicando devagar: se G é uma primitiva de g (ou seja, G'(t)=g(t)), então
H(u)=G(\pi)-G(u),
portanto
\frac{dH}{du}=0-G'(u)=-g(u).
No nosso caso, g(t)=e^{-t^{2}}. Logo, se definirmos u=x^{2}+y^{2}, a derivada de \int_{u}^{\pi} e^{-t^{2}}\,dt em relação a u é
\frac{d}{du}\left(\int_{u}^{\pi} e^{-t^{2}}\,dt\right) = -\,e^{-u^{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia: quando uma função F depende de u e u depende de x, a derivada composta é
\frac{d}{dx}F(u(x)) = F'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui F(u)=\int_{u}^{\pi} e^{-t^{2}}\,dt e u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Queremos \dfrac{\partial}{\partial x}F(u(x,y)), tratando y como constante ao diferenciar em relação a x.

Passo 4

Calculamos u'(x) (derivada de u em relação a x, com y fixo):
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) = 2x.
Pelo Passo 2, F'(u) = -e^{-u^{2}}. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = F'(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \big(-e^{-u^{2}}\big)\cdot (2x).

Passo 5

Substituindo u=x^{2}+y^{2} de volta na expressão, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -2x\,e^{-(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Observação prática: o expoente é (x^{2}+y^{2})^{2}, ou seja, primeiro soma-se x^{2}+y^{2} e depois eleva-se ao quadrado.

Resposta

\,-2x\,e^{-(x^{2}+y^{2})^{2}}\,

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