Dado que
, verifique que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de
como soma de monômios em
e
. A tarefa é calcular as derivadas parciais
e
, formar a combinação
e comparar o resultado com
.
Passo 2
Conceito rápido e prático de derivada parcial para polinômios (mini-aula): ao derivar parcialmente uma função em relação a
, trata-se
como constante; ao derivar em relação a
, trata-se
como constante. Para um monômio
vale a regra direta:
Isso vem da regra do poder (power rule) aplicada a
ou
mantendo o outro como constante. Vamos usar isso termo a termo em
.
Passo 3
Calcular
termo a termo usando a regra acima.
Para
:
Para
:
Para
:
Somando os três resultados:
Passo 4
Calcular
termo a termo.
Para
:
Para
:
Para
:
Somando:
Passo 5
Agora formamos
e
e somamos.
Multiplicando por
:
Multiplicando por
:
Somando as duas expressões:
Isso dá
Passo 6
Compare com
. Primeiro escrevemos
:
Agora subtraindo
da expressão obtida para
vemos a diferença:
Portanto
Passo 7
Interpretação conceitual (mini-aula rápida): se
fosse homogênea de grau
(isto é, todos os monômios tivessem grau
), o teorema de Euler diz que
. No nosso caso os termos têm graus diferentes:
tem grau
enquanto os outros dois termos têm grau
. Assim o termo de grau
contribui com
em
, enquanto a parte homogênea de grau
contribui com
vezes ela mesma; combinando dá exatamente o resultado encontrado: