Dado que w=x^{3} y^{3}-2 x y^{4}+3 x^{2} y^{3}, verifique que x \frac{\partial w}{\partial x}+y \frac{\partial w}{\partial y}=5 w

Passo 1

O enunciado dá a função
w = x^{3} y^{3} - 2 x y^{4} + 3 x^{2} y^{3}
e pede para verificar se
x \frac{\partial w}{\partial x} + y \frac{\partial w}{\partial y} = 5 w.
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de w como soma de monômios em x e y. A tarefa é calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial w}{\partial x} e \dfrac{\partial w}{\partial y}, formar a combinação x\,\dfrac{\partial w}{\partial x}+y\,\dfrac{\partial w}{\partial y} e comparar o resultado com 5w.

Passo 2

Conceito rápido e prático de derivada parcial para polinômios (mini-aula): ao derivar parcialmente uma função em relação a x, trata-se y como constante; ao derivar em relação a y, trata-se x como constante. Para um monômio \,x^{a}y^{b}\, vale a regra direta:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{a}y^{b}\big) = a\,x^{a-1}y^{b}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{a}y^{b}\big) = b\,x^{a}y^{b-1}.
Isso vem da regra do poder (power rule) aplicada a x ou y mantendo o outro como constante. Vamos usar isso termo a termo em w.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial w}{\partial x} termo a termo usando a regra acima.
Para x^{3}y^{3}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y^{3}\big)=3x^{2}y^{3}.
Para -2x y^{4}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-2x y^{4}\big)=-2 y^{4}.
Para 3x^{2}y^{3}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}y^{3}\big)=6x y^{3}.
Somando os três resultados:
\frac{\partial w}{\partial x}=3x^{2}y^{3}+6x y^{3}-2y^{4}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial w}{\partial y} termo a termo.
Para x^{3}y^{3}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{3}\big)=3x^{3}y^{2}.
Para -2x y^{4}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-2x y^{4}\big)=-8x y^{3}.
Para 3x^{2}y^{3}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y^{3}\big)=9x^{2}y^{2}.
Somando:
\frac{\partial w}{\partial y}=3x^{3}y^{2}+9x^{2}y^{2}-8x y^{3}.

Passo 5

Agora formamos x\,\dfrac{\partial w}{\partial x} e y\,\dfrac{\partial w}{\partial y} e somamos.
Multiplicando por x:
x\frac{\partial w}{\partial x}=x\big(3x^{2}y^{3}+6x y^{3}-2y^{4}\big)=3x^{3}y^{3}+6x^{2}y^{3}-2x y^{4}.
Multiplicando por y:
y\frac{\partial w}{\partial y}=y\big(3x^{3}y^{2}+9x^{2}y^{2}-8x y^{3}\big)=3x^{3}y^{3}+9x^{2}y^{3}-8x y^{4}.
Somando as duas expressões:
x\frac{\partial w}{\partial x}+y\frac{\partial w}{\partial y} = (3x^{3}y^{3}+3x^{3}y^{3}) + (6x^{2}y^{3}+9x^{2}y^{3}) + (-2x y^{4}-8x y^{4}).
Isso dá
x\frac{\partial w}{\partial x}+y\frac{\partial w}{\partial y} =6x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{3}-10x y^{4}.

Passo 6

Compare com 5w. Primeiro escrevemos 5w:
5w = 5\big(x^{3}y^{3}-2x y^{4}+3x^{2}y^{3}\big) =5x^{3}y^{3}-10x y^{4}+15x^{2}y^{3}.
Agora subtraindo 5w da expressão obtida para xw_x+yw_y vemos a diferença:
x\frac{\partial w}{\partial x}+y\frac{\partial w}{\partial y} - 5w = (6x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{3}-10x y^{4}) - (5x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{3}-10x y^{4}) = x^{3}y^{3}.
Portanto
x\frac{\partial w}{\partial x}+y\frac{\partial w}{\partial y} = 5w + x^{3}y^{3}.

Passo 7

Interpretação conceitual (mini-aula rápida): se w fosse homogênea de grau k (isto é, todos os monômios tivessem grau k), o teorema de Euler diz que xw_x+yw_y=k w. No nosso caso os termos têm graus diferentes: x^{3}y^{3} tem grau 6 enquanto os outros dois termos têm grau 5. Assim o termo de grau 6 contribui com 6x^{3}y^{3} em xw_x+yw_y, enquanto a parte homogênea de grau 5 contribui com 5 vezes ela mesma; combinando dá exatamente o resultado encontrado:
xw_x+yw_y = 6\cdot x^{3}y^{3} + 5\cdot\big(-2x y^{4}+3x^{2}y^{3}\big) = 5w + x^{3}y^{3}.

Resposta

x\frac{\partial w}{\partial x}+y\frac{\partial w}{\partial y}=5w+x^{3}y^{3}

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