Encontre a derivada parcial em x das funções:
F(x, y)=\operatorname{sen} x \cos 7 y

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=\operatorname{sen} x \cos 7y
e pede explicitamente a derivada parcial de F em relação a x.
Informações relevantes:
  • A variável que varia é x; y deve ser tratada como constante ao derivar.
  • A função é produto de uma função de x, \operatorname{sen} x, por uma função de y, \cos 7y.
  • Objetivo: calcular \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y).

Passo 2

O que significa derivada parcial em x: por definição,
\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{F(x_0+h,y_0)-F(x_0,y_0)}{h}.
Isto quer dizer: ao calcular a derivada parcial em x mantêm-se y fixo (como uma constante) e varia-se só x. Na prática de prova, usa-se as regras usuais de derivação considerando qualquer expressão que dependa apenas de y como constante.

Passo 3

Regra útil (caso geral que se aplica aqui): se
F(x,y)=g(x)\,h(y),
então, com y fixo, h(y) é constante e
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=g'(x)\,h(y).
Breve justificativa pelo limite: ao aplicar a definição, h(y) pode ser fatorado fora do quociente porque não depende de h, sobrando o limite que define g'(x).

Passo 4

No nosso caso identifique:
g(x)=\operatorname{sen} x,\qquad h(y)=\cos 7y.
Derivada de g(x) em relação a x é a derivada de seno:
g'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x.
A função \cos 7y não depende de x, portanto é constante em relação a x.

Passo 5

Aplicando a regra do passo anterior:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=g'(x)\,h(y)=\cos x\cdot\cos 7y.
Checagem rápida (intuição): para y fixo, F(x,y) é basicamente uma constante multiplicando \operatorname{sen} x, então a derivada em x é essa constante vezes \cos x. Exemplo numérico: para y=0 tem-se F(x,0)=\operatorname{sen} x, cuja derivada é \cos x; a fórmula dá \cos x\cos 0=\cos x, consistente.

Passo 6

Dica prática para a prova (amigável): quando aparecer algo como \operatorname{sen}(ax+b) no fator que depende de x, lembre de aplicar a regra da cadeia (multiplicar pelo coeficiente a). Aqui não foi preciso porque o termo com 7 está com y, não com x. Sempre pergunte a si mesmo: “esse pedaço depende de x?” — se não, trate como constante.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\cos x\cos 7y

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