Encontre a derivada parcial em
das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede explicitamente a derivada parcial de
em relação a
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A variável que varia é
; deve ser tratada como constante ao derivar. - A função é produto de uma função de
, , por uma função de , . - Objetivo: calcular
.
Passo 2
O que significa derivada parcial em
: por definição,
Isto quer dizer: ao calcular a derivada parcial em
mantêm-se
fixo (como uma constante) e varia-se só
. Na prática de prova, usa-se as regras usuais de derivação considerando qualquer expressão que dependa apenas de
como constante.
Passo 3
Regra útil (caso geral que se aplica aqui): se
então, com
fixo,
é constante e
Breve justificativa pelo limite: ao aplicar a definição,
pode ser fatorado fora do quociente porque não depende de
, sobrando o limite que define
.
Passo 4
No nosso caso identifique:
Derivada de
em relação a
é a derivada de seno:
A função
não depende de
, portanto é constante em relação a
.
Passo 5
Aplicando a regra do passo anterior:
Checagem rápida (intuição): para
fixo,
é basicamente uma constante multiplicando
, então a derivada em
é essa constante vezes
. Exemplo numérico: para
tem-se
, cuja derivada é
; a fórmula dá
, consistente.
Passo 6
Dica prática para a prova (amigável): quando aparecer algo como
no fator que depende de
, lembre de aplicar a regra da cadeia (multiplicar pelo coeficiente
). Aqui não foi preciso porque o termo com
está com
, não com
. Sempre pergunte a si mesmo: “esse pedaço depende de
?” — se não, trate como constante.