Encontre a derivada parcial em
das funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial em
da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é dada por numerator
e denominador . - O domínio exige que o denominador não seja zero, ou seja
. - O que se pede: calcular
, a taxa de variação de em direção ao eixo mantendo fixo.
Passo 2
O que significa derivada parcial em
:
- A derivada parcial
é a derivada da função quando tratamos como constante e diferenciamos só em relação a . - Em termos práticos, ao derivar qualquer termo que contenha apenas
(como ) a derivada em relação a é zero, porque é considerado constante.
Passo 3
Preparar para derivar usando a regra do quociente:
- Defino duas funções auxiliares (ambas dependem de
e ):
- A regra do quociente para derivada parcial em
diz:
- Agora calculo
e tratanto como constante.
Passo 4
Calcular
e
:
- Para
: a derivada em de é ; a derivada de é . Logo
- Para
: a derivada em de é ; a derivada de é . Logo
Passo 5
Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo:
- Substituindo na fórmula:
- Reescrevendo o numerador:
- Agora calculo
:
- Substituindo de volta no numerador:
- O denominador é
. Portanto
válido para
.