Encontre a derivada parcial em x das funções:
F(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em x da função
F(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}-x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é dada por numerator x^{2}+y^{2} e denominador y^{2}-x^{2}.
  • O domínio exige que o denominador não seja zero, ou seja y^{2}\neq x^{2}.
  • O que se pede: calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x,y), a taxa de variação de F em direção ao eixo x mantendo y fixo.

Passo 2

O que significa derivada parcial em x:
  • A derivada parcial \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} é a derivada da função quando tratamos y como constante e diferenciamos só em relação a x.
  • Em termos práticos, ao derivar qualquer termo que contenha apenas y (como y^{2}) a derivada em relação a x é zero, porque y é considerado constante.

Passo 3

Preparar para derivar usando a regra do quociente:
  • Defino duas funções auxiliares (ambas dependem de x e y):
u(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad v(x,y)=y^{2}-x^{2}.
  • A regra do quociente para derivada parcial em x diz:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\,\frac{\partial u}{\partial x}-u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}.
  • Agora calculo \frac{\partial u}{\partial x} e \frac{\partial v}{\partial x} tratanto y como constante.

Passo 4

Calcular \frac{\partial u}{\partial x} e \frac{\partial v}{\partial x}:
  • Para u(x,y)=x^{2}+y^{2}: a derivada em x de x^{2} é 2x; a derivada de y^{2} é 0. Logo
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
  • Para v(x,y)=y^{2}-x^{2}: a derivada em x de -x^{2} é -2x; a derivada de y^{2} é 0. Logo
\frac{\partial v}{\partial x}=-2x.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo:
  • Substituindo na fórmula:
\frac{\partial F}{\partial x} =\frac{v\cdot(2x)-u\cdot(-2x)}{v^{2}}.
  • Reescrevendo o numerador:
v\cdot(2x)-u\cdot(-2x)=2x\,v+2x\,u=2x\,(v+u).
  • Agora calculo v+u:
v+u=(y^{2}-x^{2})+(x^{2}+y^{2})=2y^{2}.
  • Substituindo de volta no numerador:
2x\,(v+u)=2x\cdot 2y^{2}=4x\,y^{2}.
  • O denominador é v^{2}=(y^{2}-x^{2})^{2}. Portanto
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\frac{4x\,y^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}},
válido para y^{2}\neq x^{2}.

Resposta

\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\frac{4x\,y^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}}

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