Encontre a derivada parcial em x das funções:
F(x, y)=\operatorname{sen} 2 x \cos y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se a derivada parcial em x da função F(x,y)=\operatorname{sen}2x\cos y.
  • Informação dada: a função é produto de duas partes, uma que depende de x, \operatorname{sen}2x, e outra que depende só de y, \cos y.
  • Objetivo concreto: encontrar \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial em x (intuição e definição):
  • Intuitivamente, \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y) mede a taxa de variação de F quando só x muda e y fica preso.
  • Definição por limite:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h,y)-F(x,y)}{h}.
  • Na prática, quando a expressão de F separa variáveis (ou uma das partes não depende de x), tratamos as partes que dependem só de y como constantes ao derivar em relação a x.

Passo 3

Reconhecer a estrutura da função para simplificar o cálculo:
  • Escrevendo explicitamente:
F(x,y)=\big(\operatorname{sen}2x\big)\cdot\big(\cos y\big).
  • Note que \cos y depende só de y. Ao derivar em relação a x, \cos y é constante em relação a x. Assim podemos puxá-la para fora da operação de derivação:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\cos y\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}2x\big).

Passo 4

Derivando \operatorname{sen}2x — regra da cadeia explicada passo a passo:
  • A função é composta: \operatorname{sen}(u) com u=2x.
  • Regra da cadeia (explicação): se h(x)=\sin(u(x)), então h'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x). Ou seja, derivar a externa e multiplicar pela derivada da interna.
  • Aqui u(x)=2x, então u'(x)=2.
  • Aplicando:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}2x\big)=\cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x).

Passo 5

Juntando tudo e simplificando:
  • Substituindo o resultado da derivada de \operatorname{sen}2x na expressão do Passo 3 temos
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\cos y\cdot\big(2\cos(2x)\big).
  • Reorganizando os fatores:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2\cos(2x)\cos y.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido (para ganhar intuição) e um incentivo:
  • Por exemplo, em (x,y)=\big(0,\tfrac{\pi}{3}\big):
\frac{\partial F}{\partial x}\!\left(0,\tfrac{\pi}{3}\right)=2\cos(0)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot1\cdot\tfrac{1}{2}=1.
  • Conclusão: a taxa de variação de F em x naquele ponto é 1. Vai dar tudo certo — pratica esse tipo de derivada algumas vezes que fica automático na prova!

Resposta

\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=2\cos(2x)\cos y

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