Encontre a derivada parcial em
das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se a derivada parcial em
da função . - Informação dada: a função é produto de duas partes, uma que depende de
, , e outra que depende só de , . - Objetivo concreto: encontrar
.
Passo 2
O que é derivada parcial em
(intuição e definição):
- Intuitivamente,
mede a taxa de variação de quando só muda e fica preso. - Definição por limite:
- Na prática, quando a expressão de
separa variáveis (ou uma das partes não depende de ), tratamos as partes que dependem só de como constantes ao derivar em relação a .
Passo 3
Reconhecer a estrutura da função para simplificar o cálculo:
- Escrevendo explicitamente:
- Note que
depende só de . Ao derivar em relação a , é constante em relação a . Assim podemos puxá-la para fora da operação de derivação:
Passo 4
Derivando
— regra da cadeia explicada passo a passo:
- A função é composta:
com . - Regra da cadeia (explicação): se
, então . Ou seja, derivar a externa e multiplicar pela derivada da interna. - Aqui
, então . - Aplicando:
Passo 5
Juntando tudo e simplificando:
- Substituindo o resultado da derivada de
na expressão do Passo 3 temos
- Reorganizando os fatores:
Passo 6
Um exemplo numérico rápido (para ganhar intuição) e um incentivo:
- Por exemplo, em
:
- Conclusão: a taxa de variação de
em naquele ponto é . Vai dar tudo certo — pratica esse tipo de derivada algumas vezes que fica automático na prova!