Encontre a derivada parcial em
das funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada parcial em
da função
Informações dadas:
- A função está escrita como produto de duas partes:
(que depende de ) e (que depende de ). - Deve-se calcular a derivada parcial em relação a
, isto é, derivar mantendo fixo.
Passo 2
Definição e ideia prática do que é derivada parcial em
.
A derivada parcial de
em relação a
é, por definição,
ou, de modo operacional em provas,: ao derivar em
trata-se
como constante e aplica-se as regras de derivação normais (regra do produto, regra do fator constante, regra da cadeia, etc.). Aqui vale notar já de cara que
não depende de
, portanto pode ser tratada como constante durante a diferenciação em relação a
.
Passo 3
Usar a regra do fator constante (caso mais simples da regra do produto).
Para funções
e uma constante
(que pode depender de
mas não de
), vale
No nosso caso podemos identificar
e
. Logo
Passo 4
Derivar
aplicando a regra da cadeia.
Regra da cadeia para exponencial: se
é uma função de
, então
Aqui
. Calculando
obtemos
. Portanto
Passo 5
Combinar os resultados para obter a derivada parcial final.
Substituindo o resultado do Passo 4 no Passo 3:
Passo 6
Observações finais e checagem rápida (dica para prova).
- Pode-se escrever
como ; ambas significam a mesma coisa. - Em prova: ao ver
função de função de , lembre-se que ao derivar em a parte só em é constante — fator constante. Depois aplique a derivada da parte em (aqui exponencial com regra da cadeia). - Exemplo numérico rápido para conferir: em
e ,
o que bate com a fórmula acima.