Encontre a derivada parcial em x das funções:
F(x, y)=e^{-2 x} \operatorname{tg} y

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada parcial em x da função
F(x,y)=e^{-2x}\operatorname{tg}y.
Informações dadas:
  • A função está escrita como produto de duas partes: e^{-2x} (que depende de x) e \operatorname{tg}y (que depende de y).
  • Deve-se calcular a derivada parcial em relação a x, isto é, derivar mantendo y fixo.

Passo 2

Definição e ideia prática do que é derivada parcial em x.
A derivada parcial de F em relação a x é, por definição,
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h,y)-F(x,y)}{h},
ou, de modo operacional em provas,: ao derivar em x trata-se y como constante e aplica-se as regras de derivação normais (regra do produto, regra do fator constante, regra da cadeia, etc.). Aqui vale notar já de cara que \operatorname{tg}y não depende de x, portanto pode ser tratada como constante durante a diferenciação em relação a x.

Passo 3

Usar a regra do fator constante (caso mais simples da regra do produto).
Para funções g(x) e uma constante C (que pode depender de y mas não de x), vale
\frac{d}{dx}\big(C\cdot g(x)\big)=C\cdot \frac{d}{dx}g(x).
No nosso caso podemos identificar C=\operatorname{tg}y e g(x)=e^{-2x}. Logo
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\operatorname{tg}y\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}\big).

Passo 4

Derivar e^{-2x} aplicando a regra da cadeia.
Regra da cadeia para exponencial: se u(x) é uma função de x, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u(x)=-2x. Calculando u'(x) obtemos u'(x)=-2. Portanto
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}\big)=e^{-2x}\cdot(-2)=-2e^{-2x}.

Passo 5

Combinar os resultados para obter a derivada parcial final.
Substituindo o resultado do Passo 4 no Passo 3:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\operatorname{tg}y\cdot\big(-2e^{-2x}\big)=-2e^{-2x}\operatorname{tg}y.

Passo 6

Observações finais e checagem rápida (dica para prova).
  • Pode-se escrever \operatorname{tg}y como \tan y; ambas significam a mesma coisa.
  • Em prova: ao ver F(x,y)= função de x \times função de y, lembre-se que ao derivar em x a parte só em y é constante — fator constante. Depois aplique a derivada da parte em x (aqui exponencial com regra da cadeia).
  • Exemplo numérico rápido para conferir: em x=0 e y=\pi/4,
\frac{\partial F}{\partial x}(0,\pi/4)=-2e^{0}\operatorname{tg}\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=-2\cdot1\cdot1=-2,
o que bate com a fórmula acima.

Resposta

\dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)=-2e^{-2x}\operatorname{tg}y

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