Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função) u(v) = (v^3 - 3v^2) / (v^4 + 1)^(5/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função . Isso está ligado ao conteúdo de derivadas, especialmente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar essas regras para simplificar e encontrar a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com um quociente de duas funções: o numerador e o denominador . Para derivar um quociente, usamos a Regra do Quociente, que diz:

Passo 3

Vamos primeiro derivar o numerador :

Passo 4

Agora, vamos derivar o denominador . Observe que é uma função composta, então usaremos a Regra da Cadeia:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Note que e . Assim, podemos fatorar :

Passo 7

Agora, vamos expandir e simplificar o numerador:
Substituindo de volta:

Passo 8

Podemos fatorar o numerador para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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