Encontre a integral indefinida integral sen x+sen x tg^2 xsec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos começar lendo o enunciado: precisamos encontrar a integral indefinida de em relação a .
Matéria envolvida: Integração de funções trigonométricas.
O que vamos precisar: Conhecimento das identidades trigonométricas básicas e das regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a resolução. Observe que sin x + sin x tan^2 xsec^2 x , mas aqui vamos reescrever tudo em termos de funções seno e cosseno para facilitar.
A expressão dada é:
sin x + sin x cdot sin^2 xcos^2 x1cos^2 x = sin x (1 + sin^2 xcos^2 x)1cos^2 x
Sabemos que e . Então, e .
Substituindo essas expressões, temos:

Passo 3

Agora, simplificamos a fração dividindo numerador e denominador:
sin x (1 + sin^2 xcos^2 x)1cos^2 x = sin x cos^2 x (1 + tan^2 x)
Mas sabemos que sin x cos^2 x cdot sec^2 x = sin x cos^2 x cdot 1cos^2 x = sin x , então substituindo de volta:
integral sin x , dx
Portanto, a integral original simplificou para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral .
A integral de em relação a é mais a constante de integração .

Resposta

integral sin x + sin x tan^2 xsec^2 x , dx = -cos x + C

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