Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, mais especificamente com funções compostas que envolvem exponenciais e funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos uma função dentro de outra função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as camadas da nossa função. Temos uma função exponencial
, onde
. Então, para encontrar a derivada de
em relação a
, precisamos derivar a função externa
em relação a
e multiplicar pela derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar a função externa. Sabemos que a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Então,
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. A derivada da função hiperbólica cosseno,
, é
. Então, usando a regra da cadeia para a função
, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: