Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada pela função vetorial . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, produto vetorial e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que representa a velocidade da curva. Derivando cada componente de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, que representa a aceleração da curva. Derivando novamente cada componente de
:
Passo 4
Com
e
em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre eles,
. O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial
:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a norma de
,
:
Passo 7
Finalmente, a fórmula para a curvatura
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A curvatura da curva é
.