Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:
r(t) = (3t, 4sen(t), 4cos(t)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada pela função vetorial . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que representa a velocidade da curva. Derivando cada componente de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que representa a aceleração da curva. Derivando novamente cada componente de :

Passo 4

Com e em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre eles, . O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial :

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a norma de , :

Passo 7

Finalmente, a fórmula para a curvatura é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A curvatura da curva é .

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