Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos determinar se a sequência dada,
, converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e análise de comportamento assintótico de sequências.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro da potência:
À medida que
cresce, os termos
e
tendem a zero. Portanto, a razão se aproxima de:
Passo 3
Apesar da razão se aproximar de 1, ela está elevada a
. Vamos reescrever a sequência de uma forma que facilite a aplicação de limites conhecidos:
Sabemos que
. Vamos adaptar essa ideia para nossa sequência.
Passo 4
Aplicando o limite à expressão simplificada:
Isso ocorre porque, conforme
tende ao infinito, a expressão dentro dos parênteses se aproxima de
, e a potência
age de forma similar a
.
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.