Para a derivada vamos trabalhar no intervalo aberto onde a derivada pode existir: -1<t<1 (nos extremos t=\pm1 a raiz é zero e a derivada fica problemática).
Pergunta: calcular f'(t) para -1<t<1.
Passo 2
Derivada da função \operatorname{arccotg} x (aula rápida): se \displaystyle y=\operatorname{arccotg} x então \cot y = x. Diferenciando implicitamente em relação a x obtemos
-\csc^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=1.
Usando a identidade \csc^{2}y=1+\cot^{2}y e \cot y=x, temos \csc^{2}y=1+x^{2}. Assim
Simplificando: \bigl(\sqrt{1-t^{2}}\bigr)^{2}=1-t^{2}, então 1+(1-t^{2})=2-t^{2}. Assim
f'(t)=\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}\,(2-t^{2})}.
Passo 6
Discussão final sobre domínio da derivada: a expressão
\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}\,(2-t^{2})}
é válida para -1<t<1. Em t=\pm1 a derivada não existe porque \sqrt{1-t^{2}}=0 no denominador. Note que para t em [-1,1] o fator 2-t^{2} nunca é zero, então a única fonte de não diferenciabilidade é a raiz no denominador.