Encontre as derivadas de:
f(t)=\operatorname{arccotg}\left(\sqrt{1-t^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a derivada f'(t) da função
f(t)=\operatorname{arccotg}\!\bigl(\sqrt{1-t^{2}}\bigr).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função interior é u(t)=\sqrt{1-t^{2}}.
  • A raiz exige 1-t^{2}\ge 0, ou seja |t|\le 1.
  • Para a derivada vamos trabalhar no intervalo aberto onde a derivada pode existir: -1<t<1 (nos extremos t=\pm1 a raiz é zero e a derivada fica problemática).
  • Pergunta: calcular f'(t) para -1<t<1.

Passo 2

Derivada da função \operatorname{arccotg} x (aula rápida): se \displaystyle y=\operatorname{arccotg} x então \cot y = x. Diferenciando implicitamente em relação a x obtemos
-\csc^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=1.
Usando a identidade \csc^{2}y=1+\cot^{2}y e \cot y=x, temos \csc^{2}y=1+x^{2}. Assim
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^{2}}.
Ou seja, para todo x,
\frac{d}{dx}\operatorname{arccotg}x = -\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Regra da cadeia (lembrando devagar): se F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui g(x)=\operatorname{arccotg}x e h(t)=u(t)=\sqrt{1-t^{2}}. Logo
f'(t)=\left.\frac{d}{dx}\operatorname{arccotg}x\right|_{x=u(t)}\cdot u'(t).
Pelo passo anterior, \left.\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccotg}x\right|_{x=u(t)}=-\dfrac{1}{1+u(t)^{2}}.

Passo 4

Derivada do interior u(t)=\sqrt{1-t^{2}}=(1-t^{2})^{1/2}: aplicando a regra do poder e a regra da cadeia,
u'(t)=\frac{1}{2}(1-t^{2})^{-1/2}\cdot(-2t) = -\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Observação: essa expressão só faz sentido para -1<t<1 (onde o denominador é positivo).

Passo 5

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia. Temos
f'(t) = -\frac{1}{1+u(t)^{2}}\cdot u'(t).
Substituindo u(t)=\sqrt{1-t^{2}} e u'(t)=-\dfrac{t}{\sqrt{1-t^{2}}},
f'(t) = -\frac{1}{1+\bigl(\sqrt{1-t^{2}}\bigr)^{2}}\cdot\left(-\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\right).
Simplificando: \bigl(\sqrt{1-t^{2}}\bigr)^{2}=1-t^{2}, então 1+(1-t^{2})=2-t^{2}. Assim
f'(t)=\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}\,(2-t^{2})}.

Passo 6

Discussão final sobre domínio da derivada: a expressão
\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}\,(2-t^{2})}
é válida para -1<t<1. Em t=\pm1 a derivada não existe porque \sqrt{1-t^{2}}=0 no denominador. Note que para t em [-1,1] o fator 2-t^{2} nunca é zero, então a única fonte de não diferenciabilidade é a raiz no denominador.

Resposta

f'(t)=\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}\,(2-t^{2})},\qquad -1<t<1

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