Encontre as derivadas de:
g(t)=\sqrt{t^{2}-1}-\operatorname{arcsec}(t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de g definida por
g(t)=\sqrt{t^{2}-1}-\operatorname{arcsec}(t).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função g é dada por duas parcelas: \sqrt{t^{2}-1} e \operatorname{arcsec}(t).
  • A função \operatorname{arcsec}(t) só está definida para t em (-\infty,-1]\cup[1,\infty). Portanto o domínio relevante para a derivada é t\le-1 ou t\ge1.
  • O objetivo é calcular g'(t), a derivada de g em pontos do domínio.

Passo 2

Vamos derivar termo a termo usando regras básicas:
  • A derivada da diferença é a diferença das derivadas.
  • Para derivar \sqrt{t^{2}-1} usaremos a regra da cadeia.
  • Para derivar \operatorname{arcsec}(t) faremos a diferenciação implícita partindo de y=\operatorname{arcsec}(t), isto é, t=\operatorname{sec} y, e aplicaremos a regra da cadeia junto com identidades trigonométricas. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Derivada da primeira parcela \sqrt{t^{2}-1}.
A função \sqrt{u} tem derivada \dfrac{1}{2\sqrt{u}} em relação a u. Aqui u=t^{2}-1. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\sqrt{t^{2}-1} = \frac{1}{2\sqrt{t^{2}-1}}\cdot\frac{d}{dt}(t^{2}-1).
Agora \dfrac{d}{dt}(t^{2}-1)=2t. Substituindo:
\frac{d}{dt}\sqrt{t^{2}-1} = \frac{1}{2\sqrt{t^{2}-1}}\cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}.
Explicação breve: primeiro diferenciamos a raiz como se fosse (t^{2}-1)^{1/2}, que traz o fator 1/2 e diminui o expoente; em seguida multiplicamos pela derivada do interior t^{2}-1, que é 2t. Os 2 se cancelam.

Passo 4

Derivada de \operatorname{arcsec}(t) por diferenciação implícita.
Defina y=\operatorname{arcsec}(t). Isso significa, por definição inversa, que
t=\operatorname{sec} y.
Diferenciando ambos os lados em relação a t (tratando y como função de t):
1=\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} y\big)=\operatorname{sec} y\tan y\cdot\frac{dy}{dt},
onde usei a regra da cadeia e a identidade \dfrac{d}{dy}\operatorname{sec} y=\operatorname{sec} y\tan y. Isolando \dfrac{dy}{dt}:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\operatorname{sec} y\tan y}.
Agora precisamos escrever \operatorname{sec} y e \tan y em função de t. Da relação t=\operatorname{sec} y segue \operatorname{sec} y=t. Além disso, usamos a identidade trigonométrica
\tan^{2}y=\operatorname{sec}^{2}y-1,
logo |\tan y|=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}y-1}=\sqrt{t^{2}-1}.
Aqui aparece a sutileza do sinal de \tan y. Dependendo do ramo de \operatorname{arcsec} e do sinal de t: para t>1 geralmente temos \tan y>0 e para t<-1 temos \tan y<0. Por isso a expressão final da derivada precisa levar em conta o sinal. Substituindo \operatorname{sec} y=t e \tan y=\pm\sqrt{t^{2}-1} no denominador:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{t\cdot(\pm\sqrt{t^{2}-1})}.
Escolhendo o sinal correto para o ramo principal de \operatorname{arcsec} (que faz com que a fórmula conveniente seja escrita com valor absoluto), a forma padrão e correta é
\frac{d}{dt}\operatorname{arcsec}(t)=\frac{1}{|t|\sqrt{t^{2}-1}},
válida em (-\infty,-1)\cup(1,\infty). Explicação do valor absoluto: ele aparece porque \tan y tem sinal oposto quando t<0, e isso cancela o sinal do t no denominador, resultando em |t|.

Passo 5

Agora juntamos as duas derivadas (diferença termo a termo):
g'(t)=\frac{d}{dt}\sqrt{t^{2}-1}-\frac{d}{dt}\operatorname{arcsec}(t) = \frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}-\frac{1}{|t|\sqrt{t^{2}-1}}.
Colocando sobre um denominador comum \sqrt{t^{2}-1}:
g'(t)=\frac{t-\dfrac{1}{|t|}}{\sqrt{t^{2}-1}}.
Podemos manipular a expressão para duas formas úteis.
Forma unificada (com valor absoluto):
g'(t)=\frac{t-\dfrac{1}{|t|}}{\sqrt{t^{2}-1}} =\frac{t|t|-1}{|t|\sqrt{t^{2}-1}}.
Forma simplificada em dois casos (que muitas vezes é mais confortável para avaliar):
  • Se t>1, então |t|=t e
g'(t)=\frac{t-\dfrac{1}{t}}{\sqrt{t^{2}-1}} =\frac{t^{2}-1}{t\sqrt{t^{2}-1}} =\frac{\sqrt{t^{2}-1}}{t}.
  • Se t<-1, então |t|=-t e
g'(t)=\frac{t+\dfrac{1}{t}}{\sqrt{t^{2}-1}} =\frac{t^{2}+1}{t\sqrt{t^{2}-1}}.
Ambas as formas são equivalentes ao resultado unificado com |t|. Você pode usar a forma que achar mais prática na prova.

Resposta

g'(t)=\frac{t-\dfrac{1}{|t|}}{\sqrt{t^{2}-1}}=\frac{t|t|-1}{|t|\sqrt{t^{2}-1}},\quad t\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty)
\text{ou, de forma equivalente,}\quad \begin{cases} g'(t)=\dfrac{\sqrt{t^{2}-1}}{t}, & t>1,\\[6pt] g'(t)=\dfrac{t^{2}+1}{t\sqrt{t^{2}-1}}, & t<-1. \end{cases}]

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