Encontre as derivadas de:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de
definida por
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função
é dada por duas parcelas: e . - A função
só está definida para em . Portanto o domínio relevante para a derivada é ou . - O objetivo é calcular
, a derivada de em pontos do domínio.
Passo 2
Vamos derivar termo a termo usando regras básicas:
- A derivada da diferença é a diferença das derivadas.
- Para derivar
usaremos a regra da cadeia. - Para derivar
faremos a diferenciação implícita partindo de , isto é, , e aplicaremos a regra da cadeia junto com identidades trigonométricas. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Derivada da primeira parcela
.
A função
tem derivada
em relação a
. Aqui
. Pela regra da cadeia:
Agora
. Substituindo:
Explicação breve: primeiro diferenciamos a raiz como se fosse
, que traz o fator
e diminui o expoente; em seguida multiplicamos pela derivada do interior
, que é
. Os
se cancelam.
Passo 4
Derivada de
por diferenciação implícita.
Defina
. Isso significa, por definição inversa, que
Diferenciando ambos os lados em relação a
(tratando
como função de
):
onde usei a regra da cadeia e a identidade
. Isolando
:
Agora precisamos escrever
e
em função de
. Da relação
segue
. Além disso, usamos a identidade trigonométrica
logo
Aqui aparece a sutileza do sinal de
. Dependendo do ramo de
e do sinal de
: para
geralmente temos
e para
temos
. Por isso a expressão final da derivada precisa levar em conta o sinal. Substituindo
e
no denominador:
Escolhendo o sinal correto para o ramo principal de
(que faz com que a fórmula conveniente seja escrita com valor absoluto), a forma padrão e correta é
válida em
. Explicação do valor absoluto: ele aparece porque
tem sinal oposto quando
, e isso cancela o sinal do
no denominador, resultando em
.
Passo 5
Agora juntamos as duas derivadas (diferença termo a termo):
Colocando sobre um denominador comum
:
Podemos manipular a expressão para duas formas úteis.
Forma unificada (com valor absoluto):
Forma simplificada em dois casos (que muitas vezes é mais confortável para avaliar):
- Se
, então e
- Se
, então e
Ambas as formas são equivalentes ao resultado unificado com
. Você pode usar a forma que achar mais prática na prova.