Encontre as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
Você me deu a função
e pediu para encontrar as derivadas. Aqui vou entender que precisamos da derivada primeira
. Como o enunciado usou “derivadas” (no plural), também vou calcular a derivada segunda
para te deixar mais seguro na prova. Informações relevantes: a função é diferença de dois termos, o primeiro é produto de
por
e o segundo é
.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (aquele mini-aula rápida, passo a passo):
Aqui
e
são funções de
;
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
onde
é um número real fixo.
Aqui
é uma função de
e
é a sua derivada.
Vamos aplicar essas regras explicitamente em cada termo da função.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Defina
e
. Então, pelas regras:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Use a regra da cadeia com
. Então
Aqui
. Assim
Como o termo original é
, temos
Passo 5
Juntando os dois resultados (Passo 3 e Passo 4) obtemos a derivada primeira:
Podemos organizar fatorando
no primeiro grupo:
Outra fatoração útil para a prova é:
Passo 6
Agora calculamos a derivada segunda
diferenciando
.
Vou usar a forma
. Primeiro derive o termo
usando novamente a regra do produto com
e
.
Pelo produto:
Some os parênteses:
Agora derive o termo
: como vimos antes
.
Portanto