Encontre as derivadas das funções abaixo:
h(t)=t^{2} e^{t}-e^{-t}

Passo 1

Você me deu a função
h(t)=t^{2}e^{t}-e^{-t}
e pediu para encontrar as derivadas. Aqui vou entender que precisamos da derivada primeira h'(t). Como o enunciado usou “derivadas” (no plural), também vou calcular a derivada segunda h''(t) para te deixar mais seguro na prova. Informações relevantes: a função é diferença de dois termos, o primeiro é produto de t^{2} por e^{t} e o segundo é e^{-t}.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (aquele mini-aula rápida, passo a passo):
\text{(1) Regra do produto: }(f\cdot g)'=f'\cdot g + f\cdot g'.
Aqui f e g são funções de t; f' é a derivada de f em relação a t e g' é a derivada de g em relação a t.
\text{(2) Regra da potência: }(t^{n})' = n t^{n-1},ê
onde n é um número real fixo.
\text{(3) Regra da exponencial composta (cadeia): }(e^{u(t)})' = e^{u(t)}\cdot u'(t).
Aqui u(t) é uma função de t e u'(t) é a sua derivada.
Vamos aplicar essas regras explicitamente em cada termo da função.

Passo 3

Derivada do primeiro termo t^{2}e^{t}.
Defina f(t)=t^{2} e g(t)=e^{t}. Então, pelas regras:
f'(t) = 2t \quad\text{(regra da potência)}ê
g'(t) = e^{t} \quad\text{(derivada da exponencial básica)}á
Aplicando a regra do produto:
\big(t^{2}e^{t}\big)' = f'(t)g(t) + f(t)g'(t) = 2t\cdot e^{t} + t^{2}\cdot e^{t}.

Passo 4

Derivada do segundo termo -e^{-t}.
Use a regra da cadeia com u(t)=-t. Então
(e^{u(t)})' = e^{u(t)}u'(t).
Aqui u'(t) = -1. Assim
\big(e^{-t}\big)' = e^{-t}\cdot(-1) = -e^{-t}.
Como o termo original é -e^{-t}, temos
\big(-e^{-t}\big)' = -\big(e^{-t}\big)' = -(-e^{-t}) = +e^{-t}.

Passo 5

Juntando os dois resultados (Passo 3 e Passo 4) obtemos a derivada primeira:
h'(t) = \big(t^{2}e^{t}\big)' - \big(e^{-t}\big)' = \big(2t e^{t} + t^{2} e^{t}\big) + e^{-t}.
Podemos organizar fatorando e^{t} no primeiro grupo:
h'(t) = e^{t}\big(t^{2}+2t\big) + e^{-t}.
Outra fatoração útil para a prova é:
h'(t) = t e^{t}(t+2) + e^{-t}.

Passo 6

Agora calculamos a derivada segunda h''(t) diferenciando h'(t).
Vou usar a forma h'(t)=e^{t}(t^{2}+2t)+e^{-t}. Primeiro derive o termo e^{t}(t^{2}+2t) usando novamente a regra do produto com F(t)=e^{t} e G(t)=t^{2}+2t.
F'(t)=e^{t},\qquad G'(t)=2t+2.
Pelo produto:
\big(e^{t}(t^{2}+2t)\big)' = F'(t)G(t)+F(t)G'(t) = e^{t}(t^{2}+2t) + e^{t}(2t+2).
Some os parênteses:
e^{t}(t^{2}+2t) + e^{t}(2t+2) = e^{t}\big(t^{2}+2t+2t+2\big) = e^{t}\big(t^{2}+4t+2\big).
Agora derive o termo e^{-t}: como vimos antes (e^{-t})'=-e^{-t}.
Portanto
h''(t) = e^{t}\big(t^{2}+4t+2\big) - e^{-t}.

Resposta

h'(t)=e^{t}\big(t^{2}+2t\big)+e^{-t}
h''(t)=e^{t}\big(t^{2}+4t+2\big)-e^{-t}

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