Encontre as derivadas das funções abaixo:
(o)
(o)
Passo 1
O que o exercício pede: encontrar a derivada da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
é logaritmo na base
;
é o logaritmo natural.
Domínio onde a função está definida: exige
e
exige
. Daí
Domínio onde a função está definida:
Portanto a derivada só faz sentido para
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
- Derivada do logaritmo natural: a regra diz que, para
,
Isto vem da definição da derivada do
.
- Mudança de base do logaritmo: para qualquer
e base , ,
Isso é útil porque reduz logaritmos em base qualquer para o logaritmo natural, cujo comportamento conhecemos.
- Regra da cadeia: se temos uma função composta
, então
Em palavras: derivada da função externa avaliada na interna vezes a derivada da função interna.
Passo 3
Aplicando a mudança de base para escrever a função com
, obtemos
Aqui
é uma constante (número), então podemos tratá‑la como fator constante ao derivar.
Passo 4
Vamos derivar passo a passo.
Primeiro, use a regra do fator constante: basta derivar o numerador e dividir por :
Primeiro, use a regra do fator constante: basta derivar o numerador e dividir por
Agora aplicamos a regra da cadeia para essa derivada: a função externa é
com
. A derivada de
em relação a
é
. Então
A derivada de
é
. Assim
Passo 5
Agora juntamos com o fator constante
. Antes de simplificar, a expressão correspondente à derivada é
Essa expressão pode ser escrita de forma mais compacta multiplicando os fatores.
Passo 6
Pequena verificação numérica para fixar a ideia: se
então
e
. Substituindo na expressão antes de simplificar teríamos o valor
o que serve como checagem rápida.