Encontre as derivadas das funções abaixo:
(o) g(x)=\log _{3}(1+\ln (x))

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar a derivada da função
g(x)=\log_{3}\bigl(1+\ln(x)\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\log_{3} é logaritmo na base 3; \ln(x) é o logaritmo natural.
Domínio onde a função está definida: \ln(x) exige x>0 e \log_{3}(1+\ln x) exige 1+\ln x>0. Daí
1+\ln x>0\quad\Longrightarrow\quad \ln x>-1\quad\Longrightarrow\quad x>e^{-1}.
Portanto a derivada só faz sentido para x>e^{-1}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Derivada do logaritmo natural: a regra diz que, para h(x)=\ln(x),
h'(x)=\frac{1}{x}.
Isto vem da definição da derivada do \ln.
  • Mudança de base do logaritmo: para qualquer y>0 e base a>0, a\neq1,
\log_{a}(y)=\frac{\ln(y)}{\ln(a)}.
Isso é útil porque reduz logaritmos em base qualquer para o logaritmo natural, cujo comportamento conhecemos.
  • Regra da cadeia: se temos uma função composta F(x)=f(u(x)), então
F'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
Em palavras: derivada da função externa avaliada na interna vezes a derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a mudança de base para escrever a função com \ln, obtemos
g(x)=\log_{3}\bigl(1+\ln x\bigr)=\frac{\ln\bigl(1+\ln x\bigr)}{\ln 3}.
Aqui \ln 3 é uma constante (número), então podemos tratá‑la como fator constante ao derivar.

Passo 4

Vamos derivar passo a passo.
Primeiro, use a regra do fator constante: basta derivar o numerador e dividir por \ln 3:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(1+\ln x\bigr).
Agora aplicamos a regra da cadeia para essa derivada: a função externa é \ln(u) com u=1+\ln x. A derivada de \ln(u) em relação a u é 1/u. Então
\frac{d}{dx}\ln\bigl(1+\ln x\bigr)=\frac{1}{1+\ln x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1+\ln x\bigr).
A derivada de 1+\ln x é 0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}. Assim
\frac{d}{dx}\ln\bigl(1+\ln x\bigr)=\frac{1}{1+\ln x}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 5

Agora juntamos com o fator constante \frac{1}{\ln 3}. Antes de simplificar, a expressão correspondente à derivada é
\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{1}{1+\ln x}\cdot\frac{1}{x}.
Essa expressão pode ser escrita de forma mais compacta multiplicando os fatores.

Passo 6

Pequena verificação numérica para fixar a ideia: se x=e então \ln e=1 e 1+\ln e=2. Substituindo na expressão antes de simplificar teríamos o valor
\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{e}=\frac{1}{2e\ln 3},
o que serve como checagem rápida.

Resposta

g'(x)=\frac{1}{x(1+\ln x)\ln 3},\quad x>e^{-1}

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