Encontre as derivadas das funções abaixo:
(h) f(r)=5^{\cos (r)}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função \,f(r)=5^{\cos(r)}.
Informações dadas: a base da exponencial é a constante \,5 e o expoente é a função \,\cos(r).
Objetivo explícito: calcular f'(r), a derivada de f em relação a r.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada do zero): a derivada de uma função exponencial com base constante a>0 e expoente dependente de x, isto é \,g(x)=a^{u(x)}, é dada por
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x).
Por que essa fórmula vale? Porque podemos reescrever a^{u(x)} como uma exponencial natural:
a^{u(x)}=e^{u(x)\ln(a)}.
Agora aplicamos a regra da cadeia para \,e^{(\cdot)}: a derivada de e^{v(x)} é e^{v(x)}\cdot v'(x). Aqui v(x)=u(x)\ln(a), então v'(x)=u'(x)\ln(a). Substituindo obtemos exatamente a fórmula acima.
Explicando as variáveis: \,a é a base constante, \,u(x) é o expoente que depende de x, \ln(a) é o logaritmo natural da constante a, e u'(x) é a derivada do expoente.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: identifique a=5 e u(r)=\cos(r). Então, pela fórmula,
f'(r)=5^{\cos(r)}\ln(5)\cdot\frac{d}{dr}\big(\cos(r)\big).

Passo 4

Derivada de \cos(r): lembrando a regra básica das derivadas de funções trigonométricas,
\frac{d}{dr}\big(\cos(r)\big)=-\sin(r).
Explanação rápida: a derivada mede a inclinação instantânea; para o cosseno isso resulta em um seno negativo — este é um resultado padrão que você pode memorizar ou derivar pela definição, mas aceitaremos aqui como regra fundamental.

Passo 5

Substituindo \frac{d}{dr}\big(\cos(r)\big)=-\sin(r) em f'(r) obtemos
f'(r)=5^{\cos(r)}\ln(5)\cdot\big(-\sin(r)\big).
Organizando de forma mais usual,
f'(r)=-\ln(5)\,\sin(r)\,5^{\cos(r)}.

Passo 6

Observações finais e reforço didático: a derivada está definida para todo r\in\mathbb{R}. Na prova, o passo-chave é transformar a^{u} em e^{u\ln a} e aplicar a regra da cadeia; também lembrar que \frac{d}{dr}\cos(r)=-\sin(r). Um exemplo parecido para treinar: se h(x)=2^{x^2}, então h'(x)=2^{x^2}\ln(2)\cdot 2x=2^{x^2}\cdot 2x\ln(2).

Resposta

-\ln(5)\,\sin(r)\,5^{\cos(r)}

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