Encontre as derivadas das funções abaixo:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
.
Informações dadas: a base da exponencial é a constante e o expoente é a função
.
Objetivo explícito: calcular , a derivada de
em relação a
.
Informações dadas: a base da exponencial é a constante
Objetivo explícito: calcular
Passo 2
Regra que vamos usar (explicada do zero): a derivada de uma função exponencial com base constante
e expoente dependente de
, isto é
, é dada por
Por que essa fórmula vale? Porque podemos reescrever
como uma exponencial natural:
Agora aplicamos a regra da cadeia para
: a derivada de
é
. Aqui
, então
. Substituindo obtemos exatamente a fórmula acima.
Explicando as variáveis: é a base constante,
é o expoente que depende de
,
é o logaritmo natural da constante
, e
é a derivada do expoente.
Explicando as variáveis:
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso: identifique
e
. Então, pela fórmula,
Passo 4
Derivada de
: lembrando a regra básica das derivadas de funções trigonométricas,
Explanação rápida: a derivada mede a inclinação instantânea; para o cosseno isso resulta em um seno negativo — este é um resultado padrão que você pode memorizar ou derivar pela definição, mas aceitaremos aqui como regra fundamental.
Passo 5
Substituindo
em
obtemos
Organizando de forma mais usual,
Passo 6
Observações finais e reforço didático: a derivada está definida para todo
. Na prova, o passo-chave é transformar
em
e aplicar a regra da cadeia; também lembrar que
. Um exemplo parecido para treinar: se
, então
.