Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
(d) f(s)=s^{1 / \ln s}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a derivada da função usando derivação logarítmica” para a função f(s)=s^{1/\ln s}. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(s)=s^{1/\ln s}.
  • Observação sobre domínio: a expressão usa \ln s no denominador, logo precisamos de s>0 e \ln s\neq0, ou seja s>0 e s\neq1.
  • O objetivo final é encontrar f'(s) (a derivada em relação a s) para os pontos do domínio acima.

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para facilitar a derivação: defina y=f(s), isto é
y = s^{1/\ln s}.
A ideia da derivação logarítmica é tirar logaritmo dos dois lados para transformar potências em produtos (isso simplifica muito quando a base e o expoente dependem da variável). Aqui aplicamos o log natural (ln) em ambos os lados:
\ln y = \ln\bigl(s^{1/\ln s}\bigr).

Passo 3

Uma propriedade básica de logaritmos é \ln\bigl(a^b\bigr) = b\ln a. Aplicando essa propriedade ao lado direito:
\ln y = \frac{1}{\ln s}\,\ln s.
Agora simplificamos: como \ln s aparece no numerador e no denominador (lembrando que isso vale somente quando \ln s\neq0, ou seja s\neq1), temos
\ln y = 1.
Isso significa que y é uma constante (independente de s) no domínio considerado:
y = e^{1} = e.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade \ln y = 1 em relação a s. Primeiro, lembretes úteis:
  • Derivada de \ln y(s) em relação a s usa a regra da cadeia: \dfrac{d}{ds}\ln y(s) = \dfrac{y'(s)}{y(s)}. Aqui y'(s) é a derivada de y em relação a s.
  • Derivada de uma constante (como 1) é 0.
Aplicando isso:
\frac{y'(s)}{y(s)} = 0.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por y(s) obtemos
y'(s)=0.
Como y(s)=f(s), concluímos que a derivada de f é zero em todo o domínio s>0,\\ s\neq1.

Passo 6

Interpretando: a função original é constante igual a e para todo s>0 com s\neq1, portanto sua derivada é 0 nesses pontos. Observação adicional (útil para prova): embora a expressão original esteja indefinida em s=1 (porque \ln 1=0 aparece no denominador), o valor limite quando s\to1 é também e, então há uma descontinuidade removível em s=1. Mas, conforme o enunciado, a derivada encontrada vale para o domínio onde a função está definida: s>0,\\ s\neq1.

Resposta

f'(s)=0,\quad \text{para } s>0,\\ s\neq1

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