Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a derivada da função usando derivação logarítmica” para a função
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Observação sobre domínio: a expressão usa
no denominador, logo precisamos de e , ou seja e . - O objetivo final é encontrar
(a derivada em relação a ) para os pontos do domínio acima.
Passo 2
Vamos introduzir uma variável para facilitar a derivação: defina
, isto é
A ideia da derivação logarítmica é tirar logaritmo dos dois lados para transformar potências em produtos (isso simplifica muito quando a base e o expoente dependem da variável). Aqui aplicamos o log natural (ln) em ambos os lados:
Passo 3
Uma propriedade básica de logaritmos é
. Aplicando essa propriedade ao lado direito:
Agora simplificamos: como
aparece no numerador e no denominador (lembrando que isso vale somente quando
, ou seja
), temos
Isso significa que
é uma constante (independente de
) no domínio considerado:
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade
em relação a
. Primeiro, lembretes úteis:
- Derivada de
em relação a usa a regra da cadeia: . Aqui é a derivada de em relação a . - Derivada de uma constante (como
) é .
Aplicando isso:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Como
, concluímos que a derivada de
é zero em todo o domínio
.
Passo 6
Interpretando: a função original é constante igual a
para todo
com
, portanto sua derivada é
nesses pontos. Observação adicional (útil para prova): embora a expressão original esteja indefinida em
(porque
aparece no denominador), o valor limite quando
é também
, então há uma descontinuidade removível em
. Mas, conforme o enunciado, a derivada encontrada vale para o domínio onde a função está definida:
.