Encontre todas as derivadas de terceira ordem da função dada.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre todas as derivadas de terceira ordem da função dada.”
A função fornecida é .
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar: a função é um polinômio em e
(portanto suficientemente suave para permutar derivadas parciais mistas), e precisamos listar todas as derivadas parciais de terceira ordem (todas as combinações de três diferenciações em
e
).
A função fornecida é
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar: a função é um polinômio em
Passo 2
O que é derivada parcial e notação: a derivada parcial
(também escrita
) é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo; análogamente
deriva em relação a
mantendo
fixo. Vamos calcular as derivadas de primeira ordem termo a termo (regra: derivada de soma = soma das derivadas; derivada de produto simples como
quando derivamos em relação a
trata
como constante).
Calculemos as derivadas de primeira ordem:
Derivando termo a termo:
Logo:
Agora em relação a
:
Derivando termo a termo:
Portanto:
Passo 3
Agora as derivadas de segunda ordem. As segundas parciais possíveis são
. Calculamos derivando as primeiras ordens:
Derivando
:
Derivando
:
Observação importante (útil na prova): como
é polinomial (suave), as derivadas mistas de segunda ordem coincidem:
. Isso é o Teorema de Clairaut em ação: se as segundas derivadas parciais são contínuas, as mistas são iguais.
Passo 4
O que são derivadas de terceira ordem: são todas as derivadas parciais obtidas ao diferenciar três vezes, em todas as sequências possíveis de
e
. Com duas variáveis existem
derivadas de terceira ordem, que podemos listar como:
Vamos calcular cada uma diferenciando as segundas derivadas que já temos.
Passo 5
Calculando as terceiras derivadas a partir das segundas:
Derivadas das segundas que são constantes ou funções simples:
- Como
é constante,
- Como
é constante,
- Como
é constante,
- Como
é linear em ,
Repare que muitas terceiras derivadas são zero porque derivamos constantes ou funções que não dependem da variável em questão. Também, por continuidade das derivadas, as mistas de terceira ordem coincidem quando fizer sentido (por exemplo
), e todos estes são zero aqui.
Passo 6
Resumo e verificação: das oito terceiras derivadas calculadas apenas uma é diferente de zero, que é
. Todas as outras terceiras derivadas valem zero. Isso faz sentido porque a única contribuição de ordem 3 na função original é o termo
; derivando três vezes em
produz uma constante, e qualquer derivação que envolva pelo menos uma diferenciação em
anula esse termo (ou parte da função) resultando em zero.