Encontre todas as derivadas de terceira ordem da função dada.
h(x, y)=4 x^{2}-5 x y+8 y^{3}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre todas as derivadas de terceira ordem da função dada.”
A função fornecida é \displaystyle h(x,y)=4x^{2}-5xy+8y^{3}.
Informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar: a função é um polinômio em x e y (portanto suficientemente suave para permutar derivadas parciais mistas), e precisamos listar todas as derivadas parciais de terceira ordem (todas as combinações de três diferenciações em x e y).

Passo 2

O que é derivada parcial e notação: a derivada parcial \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x} (também escrita h_x) é a derivada de h em relação a x mantendo y fixo; análogamente \displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}=h_y deriva em relação a y mantendo x fixo. Vamos calcular as derivadas de primeira ordem termo a termo (regra: derivada de soma = soma das derivadas; derivada de produto simples como -5xy quando derivamos em relação a x trata y como constante).
Calculemos as derivadas de primeira ordem:
h_x=\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2})-\frac{\partial}{\partial x}(5xy)+\frac{\partial}{\partial x}(8y^{3})
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2})=8x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(5xy)=5y,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(8y^{3})=0
Logo:
h_x=8x-5y.
Agora em relação a y:
h_y=\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2})-\frac{\partial}{\partial y}(5xy)+\frac{\partial}{\partial y}(8y^{3})
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2})=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(5xy)=5x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(8y^{3})=24y^{2}
Portanto:
h_y=-5x+24y^{2}.

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem. As segundas parciais possíveis são h_{xx},h_{xy},h_{yx},h_{yy}. Calculamos derivando as primeiras ordens:
Derivando h_x=8x-5y:
h_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(8x-5y)=8,
h_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(8x-5y)=-5.
Derivando h_y=-5x+24y^{2}:
h_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(-5x+24y^{2})=-5,
h_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-5x+24y^{2})=48y.
Observação importante (útil na prova): como h é polinomial (suave), as derivadas mistas de segunda ordem coincidem: h_{xy}=h_{yx}=-5. Isso é o Teorema de Clairaut em ação: se as segundas derivadas parciais são contínuas, as mistas são iguais.

Passo 4

O que são derivadas de terceira ordem: são todas as derivadas parciais obtidas ao diferenciar três vezes, em todas as sequências possíveis de x e y. Com duas variáveis existem 2^{3}=8 derivadas de terceira ordem, que podemos listar como:
h_{xxx},\; h_{xxy},\; h_{xyx},\; h_{yxx},\; h_{xyy},\; h_{yxy},\; h_{yyx},\; h_{yyy}.
Vamos calcular cada uma diferenciando as segundas derivadas que já temos.

Passo 5

Calculando as terceiras derivadas a partir das segundas:
Derivadas das segundas que são constantes ou funções simples:
  • Como h_{xx}=8 é constante,
h_{xxx}=\frac{\partial}{\partial x}(8)=0,\qquad h_{xxy}=\frac{\partial}{\partial y}(8)=0.
  • Como h_{xy}=-5 é constante,
h_{xyx}=\frac{\partial}{\partial x}(-5)=0,\qquad h_{xyy}=\frac{\partial}{\partial y}(-5)=0.
  • Como h_{yx}=-5 é constante,
h_{yxx}=\frac{\partial}{\partial x}(-5)=0,\qquad h_{yxy}=\frac{\partial}{\partial y}(-5)=0.
  • Como h_{yy}=48y é linear em y,
h_{yyx}=\frac{\partial}{\partial x}(48y)=0 \quad(\text{pois }48y\text{ não depende de }x),ã
h_{yyy}=\frac{\partial}{\partial y}(48y)=48.
Repare que muitas terceiras derivadas são zero porque derivamos constantes ou funções que não dependem da variável em questão. Também, por continuidade das derivadas, as mistas de terceira ordem coincidem quando fizer sentido (por exemplo h_{xxy}=h_{xyx}=h_{yxx}), e todos estes são zero aqui.

Passo 6

Resumo e verificação: das oito terceiras derivadas calculadas apenas uma é diferente de zero, que é h_{yyy}=48. Todas as outras terceiras derivadas valem zero. Isso faz sentido porque a única contribuição de ordem 3 na função original é o termo 8y^{3}; derivando três vezes em y produz uma constante, e qualquer derivação que envolva pelo menos uma diferenciação em x anula esse termo (ou parte da função) resultando em zero.

Resposta

h_{xxx}=0
h_{xxy}=0
h_{xyx}=0
h_{yxx}=0
h_{xyy}=0
h_{yxy}=0
h_{yyx}=0
h_{yyy}=48

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