Encontre as derivadas de ordem superior dos exercícios a seguir
c)
sabendo que
c)
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a derivada de ordem superior
(a quarta derivada de
), sabendo que foi dada a terceira derivada
Informações importantes fornecidas: o valor de
para cada
(na forma
). A tarefa é derivar essa função uma vez para obter
. Não há outros dados nem condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar: a regra da potência para derivadas. Ela diz que, para qualquer número real
,
Aqui
é a variável independente e
é o expoente. Exemplo simples:
. Outra regra útil é a do fator constante: se
é constante e
é função,
Ou seja, podemos puxar constantes para fora da derivada.
Passo 3
Primeiro passo técnico: reescrever
como potência, pois a regra da potência fica direta. Temos
Logo
Passo 4
Aplicando a regra da derivada a
: usando a constante
multiplicando
, aplicamos a regra da potência com
. Assim,
Passo 5
Calcule o expoente e o produto das constantes:
e
Portanto
Passo 6
Reescrevendo de forma mais familiar em termos de raiz:
Comentários sobre domínio: como apareceu
em
, estamos trabalhando no contexto real para
. A expressão
está bem definida apenas para
(não existe divisão por zero). Logo a quarta derivada existe e vale
para
. Em
a expressão não é finita, então
não está definida pela fórmula dada.