Encontre as derivadas de ordem superior dos exercícios a seguir
c) f^{(4)} sabendo que f^{\prime \prime \prime}(x)=2 \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a derivada de ordem superior f^{(4)} (a quarta derivada de f), sabendo que foi dada a terceira derivada
f^{\prime\prime\prime}(x)=2\sqrt{x}.
Informações importantes fornecidas: o valor de f^{\prime\prime\prime}(x) para cada x (na forma 2\sqrt{x}). A tarefa é derivar essa função uma vez para obter f^{(4)}(x). Não há outros dados nem condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar: a regra da potência para derivadas. Ela diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável independente e n é o expoente. Exemplo simples: \frac{d}{dx}(x^3)=3x^2. Outra regra útil é a do fator constante: se c é constante e g(x) é função,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x).
Ou seja, podemos puxar constantes para fora da derivada.

Passo 3

Primeiro passo técnico: reescrever \sqrt{x} como potência, pois a regra da potência fica direta. Temos
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Logo
f^{\prime\prime\prime}(x)=2x^{1/2}.

Passo 4

Aplicando a regra da derivada a f^{\prime\prime\prime}(x)=2x^{1/2}: usando a constante 2 multiplicando x^{1/2}, aplicamos a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}. Assim,
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{1/2}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=2\cdot\left(\tfrac{1}{2}x^{1/2-1}\right).

Passo 5

Calcule o expoente e o produto das constantes:
\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2},
e
2\cdot \tfrac{1}{2}=1.
Portanto
f^{(4)}(x)=x^{-1/2}.

Passo 6

Reescrevendo de forma mais familiar em termos de raiz:
x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Comentários sobre domínio: como apareceu \sqrt{x} em f^{\prime\prime\prime}, estamos trabalhando no contexto real para x\ge 0. A expressão \frac{1}{\sqrt{x}} está bem definida apenas para x>0 (não existe divisão por zero). Logo a quarta derivada existe e vale \frac{1}{\sqrt{x}} para x>0. Em x=0 a expressão não é finita, então f^{(4)}(0) não está definida pela fórmula dada.

Resposta

f^{(4)}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},\quad x>0

Exercícios relacionados