Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função ou derivada)
h) h(s)=\frac{s}{\sqrt{s}-1}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função h dada por
h(s)=\frac{s}{\sqrt{s}-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é h(s)=\dfrac{s}{\sqrt{s}-1}.
  • Precisamos encontrar h'(s), a derivada em relação a s.
  • A raiz quadrada exige s\ge 0 e o denominador não pode ser zero, então s\neq 1. Logo o domínio natural é s\ge 0,\; s\neq 1.
    Não vou resolver nada neste passo — só organizei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão para tornar a derivação mais confortável. Uma técnica útil é racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por \sqrt{s}+1. Isso evita ter uma raiz isolada no denominador.
h(s)=\frac{s}{\sqrt{s}-1}\cdot\frac{\sqrt{s}+1}{\sqrt{s}+1}=\frac{s(\sqrt{s}+1)}{(\sqrt{s}-1)(\sqrt{s}+1)}.
Como (\sqrt{s}-1)(\sqrt{s}+1)=s-1, obtemos
h(s)=\frac{s(\sqrt{s}+1)}{s-1}.

Passo 3

Reescrevo o numerador usando potências para aplicar regras de derivação facilmente. Como \sqrt{s}=s^{1/2}, então
s(\sqrt{s}+1)=s\cdot s^{1/2}+s=s^{3/2}+s.
Portanto
h(s)=\frac{s^{3/2}+s}{s-1}.
Vou usar a regra do quociente para derivar uma função da forma \dfrac{u(s)}{v(s)}. A regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u'=du/ds e v'=dv/ds.

Passo 4

Identifico u e v e calculo suas derivadas:
u(s)=s^{3/2}+s,\qquad v(s)=s-1.
Derivando termo a termo (regra da potência: \dfrac{d}{ds}s^{a}=a s^{a-1}):
u'(s)=\frac{3}{2}s^{1/2}+1,
v'(s)=1.
Expliquei: a derivada de s^{3/2} é \tfrac{3}{2}s^{1/2} e a de s é 1.

Passo 5

Aplico a regra do quociente:
h'(s)=\frac{\big(\tfrac{3}{2}s^{1/2}+1\big)(s-1)-(s^{3/2}+s)\cdot 1}{(s-1)^{2}}.
Esse é um passo mecânico: coloquei u'\,v - u\,v' no numerador e v^{2} no denominador.

Passo 6

Agora eu trabalho o numerador para simplificar. Primeiro expando o produto:
\big(\tfrac{3}{2}s^{1/2}+1\big)(s-1)=\tfrac{3}{2}s^{1/2}\cdot s-\tfrac{3}{2}s^{1/2}+s-1.
Isso é
\tfrac{3}{2}s^{3/2}-\tfrac{3}{2}s^{1/2}+s-1.
Subtraindo (s^{3/2}+s) (o segundo termo do numerador) resulta:
\text{numerador}=\tfrac{3}{2}s^{3/2}-\tfrac{3}{2}s^{1/2}+s-1 - s^{3/2}-s.
Agora somo/subtraio termos semelhantes:
  • s e -s cancelam.
  • \tfrac{3}{2}s^{3/2}-s^{3/2}=\tfrac{1}{2}s^{3/2}.
    Ficando
\text{numerador}=\tfrac{1}{2}s^{3/2}-\tfrac{3}{2}s^{1/2}-1.

Passo 7

Coloco um fator comum \tfrac{1}{2} para clarificar a estrutura:
\text{numerador}=\tfrac{1}{2}\big(s^{3/2}-3s^{1/2}-2\big).
Para simplificar mais, faço a substituição auxiliar t=\sqrt{s}=s^{1/2}. Então a expressão dentro do parêntese vira um polinômio em t:
t^{3}-3t-2.
Vou fatorar t^{3}-3t-2. Testando raízes inteiras, t=2 funciona porque 2^{3}-3\cdot 2-2=8-6-2=0. Logo (t-2) é fator. Fazendo a divisão (ou fatorando)
t^{3}-3t-2=(t-2)(t^{2}+2t+1)=(t-2)(t+1)^{2}.
Voltando a s (ou t=\sqrt{s}):
s^{3/2}-3s^{1/2}-2=(\sqrt{s}-2)(\sqrt{s}+1)^{2}.
Portanto o numerador fica
\text{numerador}=\tfrac{1}{2}(\sqrt{s}-2)(\sqrt{s}+1)^{2}.

Passo 8

O denominador original é (s-1)^{2}. Lembro que s-1=(\sqrt{s}-1)(\sqrt{s}+1), então
(s-1)^{2}=(\sqrt{s}-1)^{2}(\sqrt{s}+1)^{2}.
Agora coloco numerador e denominador juntos:
h'(s)=\frac{\tfrac{1}{2}(\sqrt{s}-2)(\sqrt{s}+1)^{2}}{(\sqrt{s}-1)^{2}(\sqrt{s}+1)^{2}}.
Posso cancelar (\sqrt{s}+1)^{2} (desde que \sqrt{s}\neq -1; como \sqrt{s}\ge 0 isso não é problema). Depois do cancelamento:
h'(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{s}-2}{(\sqrt{s}-1)^{2}}.

Passo 9

Chegamos a uma forma bem simplificada da derivada:
h'(s)=\frac{1}{2}\,\frac{\sqrt{s}-2}{(\sqrt{s}-1)^{2}}.
Observações finais sobre domínio: a expressão é válida para s\ge 0 e s\neq 1, que é o domínio natural da função original. Em particular, para s=0 a fórmula dá h'(0)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{0-2}{(0-1)^{2}}=-1, consistente com a derivada computada diretamente.

Resposta

h'(s)=\frac{1}{2}\,\frac{\sqrt{s}-2}{(\sqrt{s}-1)^{2}}

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