Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função ou derivada)
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisamos encontrar
, a derivada em relação a . - A raiz quadrada exige
e o denominador não pode ser zero, então . Logo o domínio natural é .
Não vou resolver nada neste passo — só organizei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão para tornar a derivação mais confortável. Uma técnica útil é racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por
. Isso evita ter uma raiz isolada no denominador.
Como
, obtemos
Passo 3
Reescrevo o numerador usando potências para aplicar regras de derivação facilmente. Como
, então
Portanto
Vou usar a regra do quociente para derivar uma função da forma
. A regra do quociente diz:
onde
e
.
Passo 4
Identifico
e
e calculo suas derivadas:
Derivando termo a termo (regra da potência:
):
Expliquei: a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 5
Aplico a regra do quociente:
Esse é um passo mecânico: coloquei
no numerador e
no denominador.
Passo 6
Agora eu trabalho o numerador para simplificar. Primeiro expando o produto:
Isso é
Subtraindo
(o segundo termo do numerador) resulta:
Agora somo/subtraio termos semelhantes:
-
e cancelam. -
.
Ficando
Passo 7
Coloco um fator comum
para clarificar a estrutura:
Para simplificar mais, faço a substituição auxiliar
. Então a expressão dentro do parêntese vira um polinômio em
:
Vou fatorar
. Testando raízes inteiras,
funciona porque
. Logo
é fator. Fazendo a divisão (ou fatorando)
Voltando a
(ou
):
Portanto o numerador fica
Passo 8
O denominador original é
. Lembro que
, então
Agora coloco numerador e denominador juntos:
Posso cancelar
(desde que
; como
isso não é problema). Depois do cancelamento:
Passo 9
Chegamos a uma forma bem simplificada da derivada:
Observações finais sobre domínio: a expressão é válida para
e
, que é o domínio natural da função original. Em particular, para
a fórmula dá
, consistente com a derivada computada diretamente.