Resolva as EDO:
\left(x^{2}-1\right) y^{\prime}+2 x y=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x^{2}-1)\,y^{\prime}+2x\,y=x,
onde y=y(x) é a função desconhecida e x é a variável independente. A tarefa é encontrar a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é uma equação diferencial de primeira ordem para y(x).
  • O coeficiente de y^{\prime} é (x^{2}-1), que anula em x=\pm 1. Logo as soluções devem ser buscadas em intervalos que não contenham x=\pm 1 (por exemplo (-\infty,-1), (-1,1), (1,\infty)).
  • Queremos a solução geral, com constante arbitrária de integração.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, dividindo por (x^{2}-1) (válido onde x^{2}-1\neq 0):
y' + \frac{2x}{x^{2}-1}\,y = \frac{x}{x^{2}-1}.
Aqui reconhecemos a forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
com P(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-1} e Q(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}.
Lembrete didático sobre o método:
Para resolver y' + P(x)y = Q(x) usamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Multiplicando toda a equação por \mu(x) a parte esquerda passa a ser a derivada do produto \mu(x)y.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x). Primeiro a integral de P(x):
\int P(x)\,dx=\int \frac{2x}{x^{2}-1}\,dx.
Fazendo a substituição u=x^{2}-1 (então du=2x\,dx) obtemos
\int \frac{2x}{x^{2}-1}\,dx=\int \frac{du}{u}=\ln|u|=\ln|x^{2}-1|.
Portanto
\mu(x)=\exp(\ln|x^{2}-1|)=|x^{2}-1|.
Em cada intervalo onde x^{2}-1 tem sinal definido podemos escolher \mu(x)=x^{2}-1 (um fator constante multiplicativo não altera a solução geral, pois é absorvido na constante de integração). Assim tomamos \mu(x)=x^{2}-1.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por \mu(x)=x^{2}-1 obtemos
(x^{2}-1)\,y' + 2x\,y = x.
Observe que a esquerda é exatamente a derivada do produto (x^{2}-1)\,y, porque pelo produto
\big((x^{2}-1)\,y\big)' = (x^{2}-1)\,y' + 2x\,y.
Logo a equação fica simplesmente
\big((x^{2}-1)\,y\big)' = x.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
(x^{2}-1)\,y = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Assim
y(x)=\frac{\dfrac{x^{2}}{2}+C}{x^{2}-1}.
Podemos também escrever a constante de forma alternativa C_{1}=2C e apresentar
y(x)=\frac{x^{2}+C_{1}}{2(x^{2}-1)},
com C_{1} arbitrária.
Lembrete sobre domínio: esta expressão é válida em cada intervalo onde x^{2}-1\neq 0, isto é, em intervalos que não contenham x=\pm 1.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): tome y=\dfrac{x^{2}/2 + C}{x^{2}-1}. Calculando y' por quociente (com N=x^{2}/2+C e D=x^{2}-1):
N' = x,\qquad D' = 2x,
y'=\frac{N'D-ND'}{D^{2}}=\frac{x(x^{2}-1)-(x^{2}/2+C)2x}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{-x(1+2C)}{(x^{2}-1)^{2}}.
Então
(x^{2}-1)\,y' + 2x\,y = \frac{-x(1+2C)}{x^{2}-1} + \frac{x^{3}+2Cx}{x^{2}-1} = \frac{x^{3}-x}{x^{2}-1}=x,
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=\frac{\dfrac{x^{2}}{2}+C}{x^{2}-1},\quad C\\ \text{constante arbitrária, válida para }x\neq\pm 1.áá

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