Resolva as EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
é a função desconhecida e
é a variável independente. A tarefa é encontrar a solução geral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é uma equação diferencial de primeira ordem para
. - O coeficiente de
é , que anula em . Logo as soluções devem ser buscadas em intervalos que não contenham (por exemplo , , ). - Queremos a solução geral, com constante arbitrária de integração.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, dividindo por
(válido onde
):
Aqui reconhecemos a forma
com
e
.
Lembrete didático sobre o método:
Para resolver usamos o fator integrante
Para resolver
Multiplicando toda a equação por
a parte esquerda passa a ser a derivada do produto
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
. Primeiro a integral de
:
Fazendo a substituição
(então
) obtemos
Portanto
Em cada intervalo onde
tem sinal definido podemos escolher
(um fator constante multiplicativo não altera a solução geral, pois é absorvido na constante de integração). Assim tomamos
.
Passo 4
Multiplicando a forma padrão por
obtemos
Observe que a esquerda é exatamente a derivada do produto
, porque pelo produto
Logo a equação fica simplesmente
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante arbitrária de integração. Assim
Podemos também escrever a constante de forma alternativa
e apresentar
com
arbitrária.
Lembrete sobre domínio: esta expressão é válida em cada intervalo onde
, isto é, em intervalos que não contenham
.
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): tome
. Calculando
por quociente (com
e
):
Então
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação original.