Encontre as derivadas parciais de 1^23 ordem das funções abaixo:
f(x, y)=(2 x^3 y^4-2 x^2)^7

Passo 1

Aqui o enunciado dá a função f(x,y)=(2x^3y^4-2x^2)^7 e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. O que precisamos aqui é aplicar a regra da cadeia para potências e, quando surgir, a regra do produto em polinômios.

Passo 2

Definimos u(x,y)=2x^3y^4-2x^2 para simplificar a conta e então calculamos as derivadas parciais de u:
ux = 6x^2y^4 - 4x
uy = 8x^3y^3

Passo 3

Agora usamos a regra da cadeia: f=(u)^7 implica
fx = 7u^6,ux = 7(2x^3y^4-2x^2)^6igl(6x^2y^4-4xr) 
fy = 7u^6,uy = 56x^3y^3,(2x^3y^4-2x^2)^6

Passo 4

Para obter fxx, derivamos fx=7u^6(6x^2y^4-4x) em relação a x, usando produto e cadeia:
fxx=42(2x^3y^4-2x^2)^5(6x^2y^4-4x)^2 +7(2x^3y^4-2x^2)^6(12xy^4-4)

Passo 5

Para fxy, derivamos fx em relação a y:
fxy=336x^3y^3(2x^3y^4-2x^2)^5(6x^2y^4-4x) +168x^2y^3(2x^3y^4-2x^2)^6

Passo 6

Para fyy, derivamos fy=56x^3y^3(2x^3y^4-2x^2)^6 em relação a y, de novo produto e cadeia:
fyy=2688x^6y^6(2x^3y^4-2x^2)^5 +168x^3y^2(2x^3y^4-2x^2)^6

Resposta

fx = 7(2x^3y^4-2x^2)^6(6x^2y^4-4x)
fy = 56x^3y^3(2x^3y^4-2x^2)^6
fxx = 42(2x^3y^4-2x^2)^5(6x^2y^4-4x)^2 +7(2x^3y^4-2x^2)^6(12xy^4-4)
fxy = 336x^3y^3(2x^3y^4-2x^2)^5(6x^2y^4-4x) +168x^2y^3(2x^3y^4-2x^2)^6
fyy = 2688x^6y^6(2x^3y^4-2x^2)^5 +168x^3y^2(2x^3y^4-2x^2)^6

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