Encontre as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \ln \left(x^{4} y^{2} - 6y\right) $. Isso significa que vamos calcular as derivadas em relação a $ x $ e $ y $ separadamente. Para isso, precisamos saber como derivar logaritmos e entender um pouco da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a $ x $, que a gente chama de $ f_x $. A função dentro do logaritmo é $ u = x^{4} y^{2} - 6y $. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{u} $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Passo 3
Então, vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
Aqui, tratamos $ y $ como uma constante porque estamos derivando em relação a $ x $.
Passo 4
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Essa é a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $.
Passo 5
Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a $ y $, que chamamos de $ f_y $. Usamos novamente a regra da cadeia:
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Essa é a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = \ln \left(x^{4} y^{2} - 6y\right) $ são:
e