Encontre as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de até 23ª ordem da função $ f(x, y) = e^{3xy} $. Isso significa que vamos calcular as derivadas de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ várias vezes, até a 23ª derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de funções exponenciais com variáveis multiplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Diferente da derivada comum, que considera a variação de uma função em relação a uma única variável, mantendo as outras constantes, a derivada parcial foca apenas em uma variável de cada vez. No nosso caso, temos duas variáveis: $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a $ x $. A função é $ f(x, y) = e^{3xy} $. Usamos a regra da cadeia para derivar funções exponenciais:
A derivada de $ 3xy $ em relação a $ x $ é $ 3y $, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a $ y $:
A derivada de $ 3xy $ em relação a $ y $ é $ 3x $, então:
Passo 5
Perceba que ambas as primeiras derivadas têm a mesma estrutura: um coeficiente multiplicando $ e^{3xy} $. Isso nos dá uma pista sobre como as derivadas de ordens superiores se comportarão. Vamos ver as segundas derivadas.
Passo 6
Calculando a segunda derivada parcial em relação a $ x $ novamente:
Passo 7
Calculando a segunda derivada parcial em relação a $ y $ novamente:
Passo 8
Agora, observamos um padrão interessante: cada vez que derivamos em relação a $ x $, multiplicamos por $ 3y $, e cada vez que derivamos em relação a $ y $, multiplicamos por $ 3x $. Isso nos ajuda a generalizar para derivadas de ordem superior.
Passo 9
Para derivadas de ordem $ n $, onde $ n $ pode ser até 23, a derivada parcial mista será:
Onde $ k $ varia de 0 a $ n $.
Passo 10
Então, seguindo esse padrão, para cada ordem de derivada até a 23ª, substituímos $ n $ e $ k $ conforme necessário. Isso nos permite calcular qualquer derivada parcial de qualquer ordem para a função $ f(x, y) = e^{3xy} $.
Resposta
As derivadas parciais de ordem até 23 da função $ f(x, y) = e^{3xy} $ são dadas por:
onde $ n $ é a ordem da derivada (até 23) e $ k $ varia de 0 a $ n $.