Encontre as derivadas parciais de 1^23 ordem das funções abaixo:
f(x, y)=e^3 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de até 23ª ordem da função $ f(x, y) = e^{3xy} $. Isso significa que vamos calcular as derivadas de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ várias vezes, até a 23ª derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de funções exponenciais com variáveis multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Diferente da derivada comum, que considera a variação de uma função em relação a uma única variável, mantendo as outras constantes, a derivada parcial foca apenas em uma variável de cada vez. No nosso caso, temos duas variáveis: $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a $ x $. A função é $ f(x, y) = e^{3xy} $. Usamos a regra da cadeia para derivar funções exponenciais:
x
A derivada de $ 3xy $ em relação a $ x $ é $ 3y $, então:
f(x, y) = e^3xy

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a $ y $:
y
A derivada de $ 3xy $ em relação a $ y $ é $ 3x $, então:
partial fpartial y = ddy ( e^3xy ) = e^3xy cdot ddy(3xy)

Passo 5

Perceba que ambas as primeiras derivadas têm a mesma estrutura: um coeficiente multiplicando $ e^{3xy} $. Isso nos dá uma pista sobre como as derivadas de ordens superiores se comportarão. Vamos ver as segundas derivadas.

Passo 6

Calculando a segunda derivada parcial em relação a $ x $ novamente:
x

Passo 7

Calculando a segunda derivada parcial em relação a $ y $ novamente:
y

Passo 8

Agora, observamos um padrão interessante: cada vez que derivamos em relação a $ x $, multiplicamos por $ 3y $, e cada vez que derivamos em relação a $ y $, multiplicamos por $ 3x $. Isso nos ajuda a generalizar para derivadas de ordem superior.

Passo 9

Para derivadas de ordem $ n $, onde $ n $ pode ser até 23, a derivada parcial mista será:
n
Onde $ k $ varia de 0 a $ n $.

Passo 10

Então, seguindo esse padrão, para cada ordem de derivada até a 23ª, substituímos $ n $ e $ k $ conforme necessário. Isso nos permite calcular qualquer derivada parcial de qualquer ordem para a função $ f(x, y) = e^{3xy} $.

Resposta

As derivadas parciais de ordem até 23 da função $ f(x, y) = e^{3xy} $ são dadas por:
f(x, y) = e^3xy
onde $ n $ é a ordem da derivada (até 23) e $ k $ varia de 0 a $ n $.

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