Encontre as derivadas parciais de primeira ordem f(x, y, z)=z \arctan \left(\frac{y}{x}\right) no ponto (5,5,1).
(c) \frac{\partial f}{\partial z}(5,5,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de primeira ordem de f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) no ponto (5,5,1).
Mais precisamente, a parte (c) especifica calcular
\frac{\partial f}{\partial z}(5,5,1).
As informações dadas são:
  • A função f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
  • O ponto onde devemos avaliar é (x,y,z)=(5,5,1).

Passo 2

Lembrando o que significa derivada parcial em relação a z: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial z} tratam-se x e y como constantes e diferenciamos apenas em relação a z. Uma definição por limites é
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}.
No caso de uma função que é produto de z por uma expressão que não depende de z, por exemplo f(x,y,z)=z\cdot g(x,y), essa definição dá diretamente
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=g(x,y),
porque g(x,y) é constante quando x,y são mantidos fixos e a derivada de z em relação a z é 1.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, note que g(x,y)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) não depende de z. Portanto, usando o argumento do passo anterior,
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
(Explicando em palavras: como x e y ficam fixos, \arctan(y/x) é uma constante e a derivada de z é 1.)

Passo 4

Agora avaliamos essa expressão no ponto (5,5,1). Substituindo x=5 e y=5 obtemos
\frac{\partial f}{\partial z}(5,5,1)=\arctan\!\left(\frac{5}{5}\right)=\arctan(1).

Passo 5

Para calcular \arctan(1): a função tangente tem valor 1 em \pi/4 (ou 45^\circ), pois \tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1. Logo
\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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