Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função depende apenas das variáveis
e ; ou seja, . - O argumento do logaritmo deve ser positivo, então o domínio é
. - As quantidades que queremos são
e .
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): se temos uma função composta
, a derivada do logaritmo natural por uma variável segue a regra da cadeia. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que a derivada parcial de
em relação a
é
Aqui
é a função que está dentro do
. A razão é a mesma do caso univariado:
, só que, em multivariáveis, substituímos a derivada por derivada parcial quando derivamos em relação a uma variável mantendo a outra fixa.
Passo 3
Identificamos a função interna
:
Agora calculamos as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
: termos que dependem de são ; constante e termo (em ) têm derivada zero em relação a . Portanto
- Derivada parcial em relação a
: termos que dependem de são ; os outros termos são constantes em . Portanto
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
:
Pequena verificação mental: a derivada é proporcional ao coeficiente de
dentro do argumento do
, dividida pelo próprio argumento — isso é exatamente a regra do log.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
:
Mesma ideia: coeficiente de
no interno dividido pelo interno.