Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das funções.
w=\ln (2+2 y+3 z)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
w=\ln(2+2y+3z).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função depende apenas das variáveis y e z; ou seja, w=w(y,z).
  • O argumento do logaritmo deve ser positivo, então o domínio é \{(y,z)\mid 2+2y+3z>0\}.
  • As quantidades que queremos são \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): se temos uma função composta \displaystyle w=\ln(u(y,z)), a derivada do logaritmo natural por uma variável segue a regra da cadeia. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que a derivada parcial de w em relação a y é
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{1}{u(y,z)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui u(y,z) é a função que está dentro do \ln. A razão é a mesma do caso univariado: \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}, só que, em multivariáveis, substituímos a derivada por derivada parcial quando derivamos em relação a uma variável mantendo a outra fixa.

Passo 3

Identificamos a função interna u(y,z):
u(y,z)=2+2y+3z.
Agora calculamos as derivadas parciais de u:
  • Derivada parcial em relação a y: termos que dependem de y são 2y; constante 2 e termo 3z (em z) têm derivada zero em relação a y. Portanto
\frac{\partial u}{\partial y}=2.
  • Derivada parcial em relação a z: termos que dependem de z são 3z; os outros termos são constantes em z. Portanto
\frac{\partial u}{\partial z}=3.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}:
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{1}{u(y,z)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{2+2y+3z}\cdot 2 =\frac{2}{2+2y+3z}.
Pequena verificação mental: a derivada é proporcional ao coeficiente de y dentro do argumento do \ln, dividida pelo próprio argumento — isso é exatamente a regra do log.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}:
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{1}{u(y,z)}\cdot\frac{\partial u}{\partial z} =\frac{1}{2+2y+3z}\cdot 3 =\frac{3}{2+2y+3z}.
Mesma ideia: coeficiente de z no interno dividido pelo interno.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{2}{2+2y+3z}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{3}{2+2y+3z}

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