Encontre a derivada direcional da função dada no ponto dado e na direção do vetor vec{v}.
g(x, y, z)=(x+2 y+3 z)^{3 / 2},(1,1,2), \vec{v}=(0,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada direcional da função g no ponto dado e na direção do vetor \vec{v}.
Dados fornecidos:
g(x,y,z) = (x + 2y + 3z)^{3/2},
ponto P=(1,1,2),
veto r de direção \vec{v} = (0,2,-1).
O que temos que devolver: o valor da derivada direcional de g em P na direção de \vec{v}. Não vamos transformar \vec{v} em outro vetor além de normalizá‑lo (fazer unidade) para usar na definição da derivada direcional.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): a derivada direcional de uma função g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}g(P)=\nabla g(P)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla g(P) é o gradiente de g em P e \cdot é o produto escalar. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla g = \left(\frac{\partial g}{\partial x},\\ \frac{\partial g}{\partial y},\\ \frac{\partial g}{\partial z}\right).
Também é comum calcular primeiro o produto escalar \nabla g(P)\cdot \vec{v} e depois dividir pelo comprimento \|\vec{v}\|, pois \mathbf{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}. Assim:
D_{\vec{v}}g(P)=\nabla g(P)\cdot \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{\nabla g(P)\cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais usando regra da cadeia. Defina a função auxiliar
h(x,y,z)=x+2y+3z,
então g(x,y,z)=h(x,y,z)^{3/2}. Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais:
\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{3}{2}h^{1/2}\cdot\frac{\partial h}{\partial x}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{3}{2}h^{1/2}\cdot\frac{\partial h}{\partial y}, \qquad \frac{\partial g}{\partial z} = \frac{3}{2}h^{1/2}\cdot\frac{\partial h}{\partial z}.
Como \frac{\partial h}{\partial x}=1,\\ \frac{\partial h}{\partial y}=2,\\ \frac{\partial h}{\partial z}=3, obtemos:
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{3}{2}h^{1/2},\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=3h^{1/2},\qquad \frac{\partial g}{\partial z}=\frac{9}{2}h^{1/2}.

Passo 4

Avaliaremos o gradiente no ponto P=(1,1,2). Primeiro calcule h(P):
h(1,1,2)=1+2\cdot 1+3\cdot 2 = 1+2+6 = 9.
Logo h^{1/2}(P)=\sqrt{9}=3. Substituindo:
\frac{\partial g}{\partial x}(P)=\frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}(P)=3\cdot 3=9, \qquad \frac{\partial g}{\partial z}(P)=\frac{9}{2}\cdot 3=\frac{27}{2}.
Portanto o gradiente em P é
\nabla g(P)=\left(\frac{9}{2},\\\ 9,\\ \frac{27}{2}\right).

Passo 5

Normalizamos o vetor de direção \vec{v}=(0,2,-1). Primeiro o comprimento:
\|\vec{v}\|=\sqrt{0^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
O vetor unitário na direção de \vec{v} é
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(0,\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Calculamos a derivada direcional como produto escalar \nabla g(P)\cdot \mathbf{u}. É mais prático calcular primeiro \nabla g(P)\cdot \vec{v} e depois dividir por \|\vec{v}\|:
\nabla g(P)\cdot \vec{v} = \frac{9}{2}\cdot 0 + 9\cdot 2 + \frac{27}{2}\cdot(-1) = 0 + 18 - \frac{27}{2} = \frac{36}{2}-\frac{27}{2} = \frac{9}{2}.
Dividindo por \|\vec{v}\|=\sqrt{5},
D_{\vec{v}}g(P)=\frac{\nabla g(P)\cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{\tfrac{9}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{9}{2\sqrt{5}}.
Se quiser racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5}:
\frac{9}{2\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{10}.

Resposta

\dfrac{9}{2\sqrt{5}}

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