Encontre a derivada direcional da função dada no ponto dado e na direção do vetor
.
,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada direcional da função
no ponto dado e na direção do vetor
.
Dados fornecidos:
ponto
,
veto r de direção .
veto r de direção
O que temos que devolver: o valor da derivada direcional de
em
na direção de
. Não vamos transformar
em outro vetor além de normalizá‑lo (fazer unidade) para usar na definição da derivada direcional.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção de um vetor unitário
é dada por
onde
é o gradiente de
em
e
é o produto escalar. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Também é comum calcular primeiro o produto escalar
e depois dividir pelo comprimento
, pois
. Assim:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais usando regra da cadeia. Defina a função auxiliar
então
. Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais:
Como
, obtemos:
Passo 4
Avaliaremos o gradiente no ponto
. Primeiro calcule
:
Logo
. Substituindo:
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Normalizamos o vetor de direção
. Primeiro o comprimento:
O vetor unitário na direção de
é
Passo 6
Calculamos a derivada direcional como produto escalar
. É mais prático calcular primeiro
e depois dividir por
:
Dividindo por
,
Se quiser racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por
: