Encontre d y / d x derivando implicitamente.
4 \cos x sen y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
4\cos x\;\sin y = 1
e pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} (ou seja, a derivada de y em relação a x), sabendo que y depende de x de forma implícita. Informações relevantes: a expressão envolve produto de funções de x e de y(x). Não há mais dados numéricos; vamos derivar implicitamente.

Passo 2

Vou explicar as regras que vou usar (com linguagem simples):
  • Regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada de u\cdot v é
\frac{d}{dx}\big(u\cdot v\big)=u'\,v+u\,v'.
Aqui u' e v' são as derivadas de u e v em relação a x.
  • Regra da cadeia: se v(x)=\sin(y(x)), onde y depende de x, então
\frac{d}{dx}\sin(y(x))=\cos(y(x))\cdot \frac{dy}{dx}.
Ou seja, derivamos a função externa ( \sin vira \cos) e multiplicamos pela derivada interna ( y'(x)=dy/dx). Sempre que eu escrever y' ou \dfrac{dy}{dx} é isso que significa.

Passo 3

Identifico o produto na esquerda: podemos ver 4\cos x como u(x) e \sin y como v(x) (lembre-se y é função de x). Calculemos as derivadas parciais:
u(x)=4\cos x\quad\Rightarrow\quad u'(x)=4\cdot(-\sin x)=-4\sin x,
v(x)=\sin y(x)\quad\Rightarrow\quad v'(x)=\cos y\cdot \frac{dy}{dx}.
Agora aplico a regra do produto à esquerda da igualdade e a derivada do lado direito ( 1) é 0. Portanto:
\frac{d}{dx}\big(4\cos x\;\sin y\big)=(-4\sin x)\sin y + 4\cos x\big(\cos y\cdot \frac{dy}{dx}\big)=0.

Passo 4

Escrevo a equação obtida de forma organizada:
-4\sin x\sin y + 4\cos x\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=0.
Agora isolo o termo com \dfrac{dy}{dx}: passo o primeiro termo para o outro lado:
4\cos x\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=4\sin x\sin y.
Aqui faço uma observação prática: para dividir por 4\cos x\cos y preciso que \cos x\cos y\neq 0; se \cos x\cos y=0 a divisão direta não vale e deve-se analisar o ponto específico da equação original (mas para a maioria dos pontos diferenciáveis podemos dividir).

Passo 5

Divido ambos os lados por 4\cos x\cos y e simplifico:
\frac{dy}{dx}=\frac{4\sin x\sin y}{4\cos x\cos y}=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\sin y}{\cos y}.
Por definição a tangente é \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}. Portanto:
\frac{dy}{dx}=\tan x\;\tan y.
Isso já é uma forma bem simples e prática para usar na prova: ao derivar implicitamente surgem produto e cadeia; isola-se y' e simplifica-se.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\tan x\;\tan y

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