Encontre
derivando implicitamente.
sen
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para encontrar
(ou seja, a derivada de
em relação a
), sabendo que
depende de
de forma implícita. Informações relevantes: a expressão envolve produto de funções de
e de
. Não há mais dados numéricos; vamos derivar implicitamente.
Passo 2
Vou explicar as regras que vou usar (com linguagem simples):
- Regra do produto: se temos duas funções
e , a derivada de é
Aqui
e
são as derivadas de
e
em relação a
.
- Regra da cadeia: se
, onde depende de , então
Ou seja, derivamos a função externa (
vira
) e multiplicamos pela derivada interna (
). Sempre que eu escrever
ou
é isso que significa.
Passo 3
Identifico o produto na esquerda: podemos ver
como
e
como
(lembre-se
é função de
). Calculemos as derivadas parciais:
Agora aplico a regra do produto à esquerda da igualdade e a derivada do lado direito (
) é
. Portanto:
Passo 4
Escrevo a equação obtida de forma organizada:
Agora isolo o termo com
: passo o primeiro termo para o outro lado:
Aqui faço uma observação prática: para dividir por
preciso que
; se
a divisão direta não vale e deve-se analisar o ponto específico da equação original (mas para a maioria dos pontos diferenciáveis podemos dividir).
Passo 5
Divido ambos os lados por
e simplifico:
Por definição a tangente é
. Portanto:
Isso já é uma forma bem simples e prática para usar na prova: ao derivar implicitamente surgem produto e cadeia; isola-se
e simplifica-se.