Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá duas informações e pede as derivadas correspondentes. Informações fornecidas:
O que precisamos encontrar:
- A derivada de
em relação a , isto é . - A derivada da função composta
em relação a , isto é (posso chamar isso de se você quiser a notação da função já composta).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar e demonstrar a derivada da função
. A definição útil é
. Para derivar, trato
como uma função potência composta com
. Usando a regra da cadeia e a derivada de
(que é
), temos:
Simplificando:
Agora escrevo isso em termos de
e
. Lembre que
e
, então
Portanto, concluímos a fórmula padrão:
Passo 3
Agora aplico isso à função dada
. O fator
é constante, então a derivada em relação a
é:
Aqui expliquei cada passo: puxei o sinal negativo para fora e usei o resultado do passo anterior.
Passo 4
Derivo agora a função interna
. Isso é simples: a derivada de
é
e a derivada de uma constante
é
. Assim:
Passo 5
Vou aplicar a regra da cadeia para obter a derivada da composta
. A regra da cadeia diz: se
com
, então
ou seja, derivamos a função externa em relação a
e multiplicamos pela derivada da função interna em relação a
. Intuitivamente: quanto muda a saída por variação de
vezes quanto
muda por variação de
.
Passo 6
Agora substituo
do passo 3 e
do passo 4 na fórmula da cadeia:
Por fim, substituo
para escrever a derivada completamente em termos de
: