Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(u)=-\operatorname{sec} u, \quad u=g(x)=x^{2}+7

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede as derivadas correspondentes. Informações fornecidas:
f(u) = -\operatorname{sec} u,
u = g(x) = x^{2}+7.
O que precisamos encontrar:
  • A derivada de f em relação a u, isto é f'(u).
  • A derivada da função composta f(g(x)) em relação a x, isto é \dfrac{d}{dx}f(g(x)) (posso chamar isso de f'(x) se você quiser a notação da função já composta).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e demonstrar a derivada da função \operatorname{sec} u. A definição útil é \operatorname{sec} u = \dfrac{1}{\cos u}. Para derivar, trato (\cos u)^{-1} como uma função potência composta com \cos u. Usando a regra da cadeia e a derivada de \cos u (que é -\sin u), temos:
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u = \frac{d}{du}(\cos u)^{-1} = -(\cos u)^{-2}\cdot\frac{d}{du}(\cos u) = -(\cos u)^{-2}\cdot(-\sin u).
Simplificando:
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u = \frac{\sin u}{\cos^{2}u}.
Agora escrevo isso em termos de \operatorname{sec} e \tan. Lembre que \operatorname{sec} u = \dfrac{1}{\cos u} e \tan u = \dfrac{\sin u}{\cos u}, então
\frac{\sin u}{\cos^{2}u} = \left(\frac{1}{\cos u}\right)\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right) = \operatorname{sec} u \tan u.
Portanto, concluímos a fórmula padrão:
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u = \operatorname{sec} u \tan u.

Passo 3

Agora aplico isso à função dada f(u) = -\operatorname{sec} u. O fator -1 é constante, então a derivada em relação a u é:
f'(u) = \frac{d}{du}\big(-\operatorname{sec} u\big) = -\frac{d}{du}\operatorname{sec} u = -\operatorname{sec} u \tan u.
Aqui expliquei cada passo: puxei o sinal negativo para fora e usei o resultado do passo anterior.

Passo 4

Derivo agora a função interna u = g(x) = x^{2}+7. Isso é simples: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de uma constante 7 é 0. Assim:
\frac{du}{dx} = g'(x) = 2x.

Passo 5

Vou aplicar a regra da cadeia para obter a derivada da composta f(g(x)). A regra da cadeia diz: se F(x) = f(u) com u=g(x), então
\frac{d}{dx}F(x) = f'(u)\cdot \frac{du}{dx},
ou seja, derivamos a função externa em relação a u e multiplicamos pela derivada da função interna em relação a x. Intuitivamente: quanto muda a saída por variação de u vezes quanto u muda por variação de x.

Passo 6

Agora substituo f'(u) do passo 3 e \dfrac{du}{dx} do passo 4 na fórmula da cadeia:
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(u)\cdot \frac{du}{dx} = \big(-\operatorname{sec} u \tan u\big)\cdot (2x).
Por fim, substituo u=g(x)=x^{2}+7 para escrever a derivada completamente em termos de x:
\frac{d}{dx}f(g(x)) = -2x\,\operatorname{sec}\big(x^{2}+7\big)\tan\big(x^{2}+7\big).

Resposta

f'(u) = -\operatorname{sec} u \tan u
\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = -2x\,\operatorname{sec}\big(x^{2}+7\big)\tan\big(x^{2}+7\big)

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