Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá duas funções relacionadas:
O que nos pedem (implícito) é:
- achar a derivada de
em relação ao seu argumento, isto é ; - achar a derivada de
em relação a , isto é ; - achar a derivada da composição
em relação a (frequentemente chamada de ou quando fica claro que é a composição).
Passo 2
Vamos calcular
. Primeiro, lembre o que é a derivada da função trigonométrica
. A regra básica é:
onde
. Agora, se tivermos
de uma função linear
, usamos a regra da cadeia: multiplicamos por a derivada do interior. Ou seja, para
,
No nosso caso
. Portanto,
(Se preferir escrever sem
:
.)
Passo 3
Agora
. Aplicamos a regra da potência: para
,
Assim,
Observação prática: essa derivada vale para
(onde
e
estão bem definidas).
Passo 4
Antes de derivar a composição, é útil simplificar o argumento de
:
Como
, obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para a derivada da composição:
.
Usando o do Passo 2 e substituindo
, temos
Usando o
Multiplicando por
do Passo 3:
Simplificando os constantes:
. Então