Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(u)=\cot \frac{\pi \cdot u}{10}, \quad u=g(x)=5 \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado dá duas funções relacionadas: f(u)=\cot\!\left(\frac{\pi u}{10}\right),\qquad u=g(x)=5\sqrt{x}.
O que nos pedem (implícito) é:
  • achar a derivada de f em relação ao seu argumento, isto é f'(u);
  • achar a derivada de g em relação a x, isto é g'(x);
  • achar a derivada da composição f(g(x)) em relação a x (frequentemente chamada de \frac{d}{dx}f(g(x)) ou f'(x) quando fica claro que é a composição).

Passo 2

Vamos calcular f'(u). Primeiro, lembre o que é a derivada da função trigonométrica \cot. A regra básica é:
\frac{d}{du}\cot u = -\csc^2 u,
onde \csc u=\dfrac{1}{\sin u}. Agora, se tivermos \cot de uma função linear a u, usamos a regra da cadeia: multiplicamos por a derivada do interior. Ou seja, para \cot(a u),
\frac{d}{du}\cot(a u) = -a\,\csc^2(a u).
No nosso caso a=\dfrac{\pi}{10}. Portanto,
f'(u)=\frac{d}{du}\cot\!\left(\frac{\pi u}{10}\right) = -\frac{\pi}{10}\,\csc^2\!\left(\frac{\pi u}{10}\right).
(Se preferir escrever sem \csc: \;f'(u) = -\dfrac{\pi}{10}\cdot\dfrac{1}{\sin^2\!\left(\frac{\pi u}{10}\right)}.)

Passo 3

Agora g(x)=5\sqrt{x}=5x^{1/2}. Aplicamos a regra da potência: para x^{n},
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Assim,
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(5x^{1/2}\big)=5\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{5}{2\sqrt{x}}.
Observação prática: essa derivada vale para x>0 (onde \sqrt{x} e 1/\sqrt{x} estão bem definidas).

Passo 4

Antes de derivar a composição, é útil simplificar o argumento de f\circ g:
f(g(x))=\cot\!\left(\frac{\pi}{10}\cdot g(x)\right)=\cot\!\left(\frac{\pi}{10}\cdot 5\sqrt{x}\right).
Como \dfrac{\pi}{10}\cdot 5 = \dfrac{\pi}{2}, obtemos
f(g(x))=\cot\!\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{x}\right).

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para a derivada da composição: \dfrac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Usando o f'(u) do Passo 2 e substituindo u=g(x), temos
f'(g(x)) = -\frac{\pi}{10}\,\csc^2\!\left(\frac{\pi}{10}g(x)\right) = -\frac{\pi}{10}\,\csc^2\!\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{x}\right).
Multiplicando por g'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{x}} do Passo 3:
\frac{d}{dx}f(g(x)) = -\frac{\pi}{10}\cdot\frac{5}{2\sqrt{x}}\;\csc^2\!\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{x}\right).
Simplificando os constantes: \dfrac{\pi}{10}\cdot\dfrac{5}{2}=\dfrac{5\pi}{20}=\dfrac{\pi}{4}. Então
\frac{d}{dx}f(g(x)) = -\frac{\pi}{4\sqrt{x}}\;\csc^2\!\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{x}\right).

Resposta

f'(u)=-\dfrac{\pi}{10}\,\csc^2\!\left(\dfrac{\pi u}{10}\right)
g'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}
\dfrac{d}{dx}f(g(x))=-\dfrac{\pi}{4\sqrt{x}}\,\csc^2\!\left(\dfrac{\pi}{2}\sqrt{x}\right)

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