Encontre as derivadas das seguintes funções, dadas por integrais definidas, usando o teorema 17.3.
f(x)=\int_{2 x}^{x^{2}} \sqrt{3+\ln t} d t(x \geq 1). Resposta. 2 x \sqrt{3+2 \ln x}-2 \sqrt{3+\ln 2 x}.
Sugestão. \int_{2 x}^{x^{2}}=\int_{2 x}^{a}+\int_{a}^{x^{2}}=\int_{a}^{x^{2}}-\int_{a}^{2 x}, sendo a \geq 1 um número real qualquer.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\int_{2x}^{\,x^{2}}\sqrt{3+\ln t}\,dt\quad(x\ge1)
e pede f'(x).
O conteúdo usado será o teorema de Leibniz (ou Teorema 17.3), que diz: se
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}g(t)\,dt,
então
F'(x)=g\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;g\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 2

Para aplicar esse teorema, escrevemos
f(x)=\int_{2x}^{\,x^{2}}\sqrt{3+\ln t}\,dt =\int_{a}^{\,x^{2}}\sqrt{3+\ln t}\,dt \;-\;\int_{a}^{\,2x}\sqrt{3+\ln t}\,dt
onde a\ge1 é uma constante qualquer. Assim a(x)=2x e b(x)=x^2.

Passo 3

Aplicando o teorema de Leibniz temos
f'(x) =\sqrt{3+\ln\bigl(x^{2}\bigr)}\;\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) \;-\;\sqrt{3+\ln\bigl(2x\bigr)}\;\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr).
Como \frac{d}{dx}(x^{2})=2x e \frac{d}{dx}(2x)=2, fica
f'(x) =2x\,\sqrt{3+\ln\bigl(x^{2}\bigr)} \;-\;2\,\sqrt{3+\ln\bigl(2x\bigr)}.

Passo 4

Basta usar \ln(x^{2})=2\ln x para obter a forma final.

Resposta

f'(x)=2x\sqrt{3+2\ln x}\;-\;2\sqrt{3+\ln(2x)}.

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