Encontre as derivadas das seguintes funções, dadas por integrais definidas, usando o teorema 17.3.
g(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{1}{\ln t} d t(x>0). Resposta. \frac{x^{2}-x}{\ln x}.
Sugestão. Tome um número real a, a>0, e use a estratégia sugerida no problema anterior.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
g(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}}\frac{1}{\ln t}\,dt,\quad x>0,
usando o Teorema 17.3, que é basicamente a versão do Teorema Fundamental do Cálculo para limites de integração que dependem de x. Precisaremos também da regra da cadeia para diferenciar as funções limites.

Passo 2

O teorema que vamos usar diz que, se
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Aqui f(t)=1/\ln t, a(x)=x^{2} e b(x)=x^{3}.

Passo 3

Aplicando diretamente a fórmula, obtemos
g'(x) =\frac{1}{\ln\bigl(x^{3}\bigr)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) \;-\; \frac{1}{\ln\bigl(x^{2}\bigr)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).
As derivadas são \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} e \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.

Passo 4

Substituindo essas derivadas e simplificando os logaritmos:
\ln\bigl(x^{3}\bigr)=3\ln x, \quad \ln\bigl(x^{2}\bigr)=2\ln x.
Logo,
\frac{1}{\ln(x^{3})}\,3x^{2} =\frac{3x^{2}}{3\ln x} =\frac{x^{2}}{\ln x}, \qquad \frac{1}{\ln(x^{2})}\,2x =\frac{2x}{2\ln x} =\frac{x}{\ln x}.

Passo 5

Subtraindo os dois termos, concluímos que
g'(x) =\frac{x^{2}}{\ln x}-\frac{x}{\ln x} =\frac{x^{2}-x}{\ln x}.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}-x}{\ln x}

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