Encontre as derivadas das seguintes funções, dadas por integrais definidas, usando o teorema 17.3.
\mathrm{g}(\mathrm{x})=\int_{0}^{\mathrm{x}^{2}} \sqrt{1+\mathrm{t}^{3}} \mathrm{dt}. Resposta. 2 \mathrm{x} \sqrt{1+\mathrm{x}^{6}}.
Sugestão. Considere F(u)=\int_{0}^{u} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{dt}. Pelo teorema fundamental do cálculo, primeira versão, F^{\prime}(u)=\sqrt{1+u^{3}}. Temos g(x)=F\left(x^{2}\right). Por derivação em cadeia, g^{\prime}(x)=F^{\prime}(u) \cdot u^{\prime}, com u=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\int_{0}^{x^{2}}\sqrt{1+t^{3}}\;dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (versão que diz que se
F(u)=\int_{0}^{u}f(t)\;dt
então F'(u)=f(u)) e depois a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F(u)=\int_{0}^{u}\sqrt{1+t^{3}}\;dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F em relação a u é
F'(u)=\sqrt{1+u^{3}}.

Passo 3

Observamos que
g(x)=F\bigl(x^{2}\bigr).
Para obter g'(x), aplicamos a regra da cadeia:
g'(x)=F'\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Calculamos cada fator:
  1. F'\bigl(x^{2}\bigr)=\sqrt{1+(x^{2})^{3}}=\sqrt{1+x^{6}}.
  2. \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
    Multiplicando, obtemos
g'(x)=2x\;\sqrt{1+x^{6}}.

Resposta

g'(x)=2x\sqrt{1+x^{6}}.

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