Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(\theta)=\operatorname{sec} (\theta)=\frac{1}{\cos (\theta)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(\theta)=\operatorname{sec}(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}.
O conteúdo envolvido é derivação de função composta e potência, pois podemos ver \operatorname{sec}(\theta) como (\cos(\theta))^{-1}. Vamos usar a regra da cadeia para potências e a derivada de \cos(\theta).

Passo 2

Reescrevemos
f(\theta) = (\cos(\theta))^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia para u(\theta)=\cos(\theta) e g(u)=u^{-1}, temos
f'(\theta) = g'(u)\bigl|_{u=\cos(\theta)}\cdot u'(\theta) = (-1)\,(\cos(\theta))^{-2}\cdot\bigl(-\sin(\theta)\bigr).

Passo 3

Simplificando o sinal e as potências de cosseno:
f'(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)} = \frac{1}{\cos(\theta)}\;\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \operatorname{sec}(\theta)\,\tan(\theta).

Resposta

f'(\theta)=\operatorname{sec}(\theta)\,\tan(\theta).

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