Encontre o diferencial d u sendo:
u=x^{3}+2 x-1

Passo 1

O enunciado dá a função u em função de x:
u = x^{3} + 2x - 1.
O que se pede: encontrar o diferencial du correspondente a essa função — ou seja, expressar du em termos de x e dx.

Passo 2

Conceito: o diferencial du de uma função u(x) é definido por
du = u'(x)\,dx,
onde u'(x) é a derivada de u em relação a x e dx é um pequeno incremento em x. Na prática, para calcular du primeiro calculamos u'(x) e depois multiplicamos por dx.
Vou lembrar duas regras que vou usar:
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se u(x)=f(x)+g(x), então u'(x)=f'(x)+g'(x).
  • Regra da potência (caso inteiro): para f(x)=x^{n} com n inteiro positivo, vale
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Para ficar concreto, faço uma prova rápida da regra da potência para n=3 usando a definição de derivada:
\frac{d}{dx}x^{3}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Expandindo (x+h)^{3}:
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.
Substituindo na fração e simplificando:
\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}.
Tomando o limite h\to 0 sobra
\lim_{h\to 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}.
Portanto \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}. Isso ilustra a regra da potência para n=3.

Passo 3

Agora aplico as regras termo a termo à função dada \;u(x)=x^{3}+2x-1.
  • Derivada de x^{3}: como mostrado acima,
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Derivada de 2x: é uma constante multiplicando x, então
\frac{d}{dx}(2x)=2\cdot\frac{d}{dx}x=2\cdot 1=2.
(A derivada de x é 1.)
  • Derivada de -1: constante, logo
\frac{d}{dx}(-1)=0.
Somando as derivadas pelos termos da soma:
u'(x)=3x^{2}+2+0=3x^{2}+2.

Passo 4

Agora escrevo o diferencial usando a fórmula du=u'(x)\,dx:
du=(3x^{2}+2)\,dx.
Interpretação rápida e exemplo numérico (para intuir o uso): se x muda um pouco, por exemplo \Delta x=0,01 no ponto x=1, então
du\approx(3\cdot1^{2}+2)\cdot0,01=(3+2)\cdot0,01=0,05,
ou seja, a variação aproximada de u será 0,05.
Força aí — isso é tudo que você precisa para calcular diferenciais simples na prova!

Resposta

du=(3x^{2}+2)\,dx

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