Encontre o diferencial
sendo:
Passo 1
O enunciado dá a função
em função de
:
O que se pede: encontrar o diferencial
correspondente a essa função — ou seja, expressar
em termos de
e
.
Passo 2
Conceito: o diferencial
de uma função
é definido por
onde
é a derivada de
em relação a
e
é um pequeno incremento em
. Na prática, para calcular
primeiro calculamos
e depois multiplicamos por
.
Vou lembrar duas regras que vou usar:
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
, então . - Regra da potência (caso inteiro): para
com inteiro positivo, vale
Para ficar concreto, faço uma prova rápida da regra da potência para
usando a definição de derivada:
Expandindo
:
Substituindo na fração e simplificando:
Tomando o limite
sobra
Portanto
. Isso ilustra a regra da potência para
.
Passo 3
Agora aplico as regras termo a termo à função dada
.
- Derivada de
: como mostrado acima,
- Derivada de
: é uma constante multiplicando , então
(A derivada de
é
.)
- Derivada de
: constante, logo
Somando as derivadas pelos termos da soma:
Passo 4
Agora escrevo o diferencial usando a fórmula
:
Interpretação rápida e exemplo numérico (para intuir o uso): se
muda um pouco, por exemplo
no ponto
, então
ou seja, a variação aproximada de
será
.
Força aí — isso é tudo que você precisa para calcular diferenciais simples na prova!