Encontre o diferencial d u sendo:
u=3 x+1

Passo 1

O enunciado fornece a função u=3x+1 e pede que se encontre o diferencial du. Informação relevante que o enunciado dá:
  • A função é u(x)=3x+1.
  • O que se pede é o diferencial du, isto é, a expressão que relaciona uma pequena variação de u com uma pequena variação de x.

Passo 2

O que é o diferencial? Vou explicar de forma simples e direta: o diferencial du representa a variação linear aproximada de u quando x sofre uma pequena variação dx. Formalmente usa-se a relação
du=\frac{du}{dx}\,dx,
onde \dfrac{du}{dx} é a derivada de u em relação a x e dx é um incremento (uma variável) que representa uma pequena mudança em x.

Passo 3

Como calcular \dfrac{du}{dx}? Aplicamos a regra básica de derivação para funções polinomiais: a derivada de ax+b em relação a x é a. Aqui a=3 e b=1. Portanto,
\frac{du}{dx}=3.
Explicando isso bem mastigado: para cada unidade que x aumenta, 3x aumenta três unidades; o termo constante 1 não muda com x, então sua derivada é zero.

Passo 4

Agora substituímos \dfrac{du}{dx}=3 na fórmula do diferencial:
du=\frac{du}{dx}\,dx=3\,dx.
Isso nos dá a expressão do diferencial: du é três vezes dx.

Passo 5

Interpretação prática (para usar na prova): se x sofre uma pequena variação \,dx, a variação correspondente em u é \,du=3\,dx. Por exemplo, se dx=0{,}1 então du=3\cdot0{,}1=0{,}3.

Resposta

du=3\,dx

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