Encontre a dimensão e uma base do espaço vetorial definido por todas as soluções dos sistemas abaixo:
(b) \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço vetorial formado por todas as soluções do sistema homogêneo
\text{temos }3\text{ incógnitas }(x_{1},x_{2},x_{3})\text{ e 3 equações lineares homogêneas.}óçõê
O que se pede explicitamente: (i) a dimensão do espaço solução (nullspace) e (ii) uma base desse espaço (um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todas as soluções).]
Passo 2
Vou transformar o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=0, onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} e A é a matriz dos coeficientes. A matriz é
Estratégia: usar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para achar as equações independentes (o posto de A) e escrever as variáveis livres em termos das variáveis básicas. Lembrete rápido: operações elementares por linhas não mudam o conjunto de soluções do sistema homogêneo.
Passo 4
Escrevo a matriz e começo a eliminar. Para facilitar, troco a primeira e a segunda linha (para ter um pivô pequeno):
Agora aplico R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{3}{2}R_{1}. Escrevo os resultados passo a passo (mostro frações quando aparecem):
Interpreto a matriz escalonada. Há dois pivôs (na coluna 1 e na coluna 2), logo o posto \operatorname{rank}(A)=2. Como há 3 variáveis, pela relação dimensão do núcleo (teorema do posto-nulo):
Parametrizo pela variável livre. Tome t\in\mathbb{R} e ponha t=x_{2}. Então
x_{1}=-t,\qquad x_{2}=t,\qquad x_{3}=t.
Em forma vetorial,
\mathbf{x}=t(-1,1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso mostra que todas as soluções são múltiplos escalares do vetor (-1,1,1). Esse vetor gera o núcleo e é não nulo, logo forma uma base do espaço solução.